Capture048

porównując jej wyniki standardowe. Z angielskiego jej wynik standardu^ nosi t57 - 65V8 = -I.O. .1 z matematyki (38 - 52>/l2    0.5 Zatem / angui ,

jej wynik mieści sic o jedna jednostkę odchylenia standurdowego pnni/q , ciętncj. / matematyki zaś o 0,5 jednostki odchylenia standardowego powy/_c, ciętncj. Widać więc wyraźnie, ie osoba ta jest znacznie słabsza z angielsku z matematyki w kontekście efektów osiąganych prz.cz grupę /dajac.j _u. , ny. choć nic odzwierciedlają tego oceny pierwotne. Aby porównywanie było ścisłe, rozkład wyników / tych dwóch testów powinien mieć nk-ntv, kształt Znaczenie lego ostatniego twierdzenia stanic się jasne W' toku d.ik_Ą wywodu

Czytelnik powinien zauważyć, ze suma kwadratów wyników standard*

równa jest N - I Stwierdzamy, ze :^: = (.V -    stąd:

I

I(.V-Y)^: ₌ Z (.V -

Z (X -    - I)

(iV- I).

Czytelnik powinien (u zauważyć, ze jeżeli s² jest zdefiniowane jaku 1 . - .Vr/A^f. to suma kwadratów wyników standardowych równa jest /V. j nu- \

5.9. Zalety wariancji i odchylenia standardowego jako miar zmienności

Wariancja i odchylenie standardowe maja liczne zalety, staw iające je ponad inny miarami zmienności. Stosuje się je w wielu opracowaniach statystycznych War cja ma pewne właściwości dodawalności i w niektórych sytuacjach może być d/ łona na składniki, które sa do siebie dodawalne i / który ch każdy można odn, do jakichś okoliczności przyczynowych. Odchylenie standardowe z próby jest tv dziej stabilnym bądź dokładnym estymatorem odpowiedniego parametru popu . aniżeli inne miary zmienności Przy pewnych założeniach jest ono bardziej stahi! jako estymator odchylenia standardowego w populacji niż na przykład odchylę; od średniej z próby jako wskaźnik odchylenia od średniej w populacji. Wanar. i odchylenie standardowe łatwiej poddają się działaniom matematycznym ni/ u miary Wchodzą one w skład wzorów obliczeniowych wielu typów statystyk \ szeroko stosowane do pomiaru błędu. Śledząc wykład na temat statysty ki / pr* w dalszych rozdziałach tej książki. Czytelnik zauważy, ze blad standardowy jest istocie odchyleniem standardowym błędów popełnianych przy oszacowaniu p^r. metrów populacji na podstawie wartości otrzymanych z prób. Błędy te wynika), działania czynników losowych przy losowym pobieraniu prób Pełne uśwudorr. me sobie wagi i znaczenia wariancji i odchylenia standardowego w rozmaity, ujęciach wymaga bardzo dobrej znajomości statystyki.

5.10. Momenty średniej

Śrcilniu . odchyl«n.c    .» <c,<k powi^me / ,od„„, v«ya,k .™«v

następujące

wych zwanych ««wml P,c™„« _cntry momcmy _>n:<teK|    *

i»2 =    I

N    N

158)

N s

Ogólnie rzecz biorąc, r-ty moment średniej wyraża wzór:

<5.9)

Termin ..moment pochodzi z mechaniki Rozważmy dżwiemę i jej punkt oparcia Jeżeli do dźwigni przyłożymy silę/, w odległości x, od początku, loja, nazywamy momentem tej siły. Dalej, jeżeli do dźwigni przyłożymy druga siłę J\ w odległości x₂. to moment całkowity równy jest f,x, + j\i_:. Jeżeli odległości x podniesiemy do kwadratu, otrzymamy drugi moment, jeśli podniesiemy je do sześcianu. otrzymamy trzeci moment ild. Rozważając rozkłady liczebności, możemy posłużyć się analogią do punktu oparcia dźwigni — liczebności różnych przedziałów klasowych są analogiczne do sił działających na dźwignię z różnych odległości od punktu oparcia. Zauważmy, że pierwszy moment średniej równy jest 0. a drugi moment równy jest (N - 1 )/,V razy wariancja nie obciążonej próby Trzeci moment używany jest do otrzymywania pomiaru skośności. czwarty zaś do pomiaru kurtozy

5.11. Miary skośności i kurtozy

Powszechnie stosowana miara skośności wykorzystuje trzeci moment i jest definiowana następująco:    /

<5.10)

Uzasadnienie tej statystyki opiera się na zaobserwowanym takcie, że gdy rozkład (bądź. jakikolwiek zbiór liczb) jest symetryczny, to suma odchyleń powyżej średniej podniesiona do trzeciej potęgi jest równoważna sumie odchyleń poniżej

95