DSC07142 (6)

4

4

212

Całki oznaczone

J v(t) dt = w(c)(4 — 0),

O

gdzie e € (0,4). Porównując otrzymane wyniki mamy 4v(c) = 400, czyli v(c) = IDO. Oznacza to, że w pewnej chwili c szybkość pociągu była równa dokładnie lOOkm/godi

• Przykład 8.11

Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uzasadnić podane równości:

	In 2 f dx — 0-	w Z^2*^5
•1		^b,y *
	In3	-1
	i >	ł f
d)	/ sin* xdx = 6	/ sin^4 x dr;

m °

T

c) jx tg³

xdx

arccosz 1 + z^J

Rozwiązanie

Jeżeli funkcja f jest nieparzysta lub parzysta, to mamy odpowiednio

J /(z) dx = 0 lub j f(x) dx = 2 J /(z) dx.

Z kolei, jeśli / jest funkcją okresową o okresie T > 0, to

T    fl-ri

f(x)dx.

J f[x)dx= J

gdzie a € R.

a) Wystarczy uzasadnić, że funkcja podcałkowa /(z) = f!jll jest nieparzysta. Rzeczywiście dla z £ R mamy —z € R oraz

/(-*) =

c-*-l e~* +1

e¹

1

e* +1

e* — 1 e* + l

= "/(*)•

lal

Zatem J | dx = 0.

-lal

b) Wystarczy uzasadnić, że funkcja podcałkowa /(z) = ²³⁼⁵ _g ^ł> + X jest nieparzysta. Rzeczywiście dla z £ R mamy —z £ R oraz    *

c) Wystarczy pokazać, że funkcja podcałkowa /(z) = i tg* X jest parzysta. Rzeczywiście

dla * 6 (- J. J) mamy -* e |) oraz

/(“*) = (“*) tg³(—*) = X tg³ x = /(i).

Stad

4    4

J xtg³xdx = 2 J z tg*zdz.

d) Funkcja podcałkowa ma okres T = it, zatem

ł«!

J sin¹ zdx = J sin⁴ z dz + J sin* xdx + Jaa* xdx = 3 j sin⁴ zdz.

g§    -ł

J sin⁴ z dr = 2 Jsin⁴ zdz. -5    ⁰ 'i

i’    ł

J sin⁴zdz = 6sin⁴zdz.

Zatem

f 2x^s —x³ +■.

J z* + l

dx = 0.

Ponadto funkcja la jest parzysta, stąd f

Ostatecznie

i-

e") W rozwiązaniu wykorzystamy tożsamość

aresinz + arccosz = —, gdzie |z| $ 1.

Zatem

1 TT ę — — aresinz ę	* /	l X ' * -
J 1 + **	W	l+z* 7
-1	--X	-X
*T . 1‘ n	ir^3
-[arctgzj_ł-° =	4 '

W ostatniej całce wykorzystaliśmy nieparzystość funkcji podcałkowej.

Twierdzenia podstawowe rachunku całkowego

• Przykład 8.12

Dla podanych funkcji / całkowalnych na przedziale [a, b] znaleźć funkcje górnej