Capture049

średniej podniesionych do trzeciej potęgi. Zatem dla rozkładu »ymctru„ _Wl = 0 i g, = 0 Jeżeli rozkład jest asymetryczny. to sumy odchyleń _p..-a ... poni/cj średniej podniesionych do trzeciej potęgi nie są sobie równowa/ih-więc u przypadku rozkładu asymetrycznego m» * 0 i Si * ^(J Gdy rozkład luh , liczb jest skośny dodatnio. to g, jest liczbą dodatnią, gdy zaś jest skośny u,_c„ g. icst liczbą ujemną. Wielkość »nWw₂ została wprowadzona po to. by , • porównywalne w przypadku rozkładów o różnej zmienności. Zatem gi jcm r lezne od skali pomiarowej. Skośność zbiorów pomiarów wyrażonych w g_r._ir. metrach, funtach hąd/ wynikach testu psychologicznego można bezpośredni., . równy w ać ze sobą. stosując g, Czytelnik przypomina sobie zapewne, /e u . standardowy definiuje się jako r = (.V - *Vs. Jedną / przyczyn stosowania u vn i standardowych jest dążenie do zapewnienia porównywalności wyników z ro/. zbiorów. Posłużenie się /n₂\m_z w definicji g, ma analogiczne przyczyny. ul , służenie się s w definicji wyniku standardowego.

Dla rozważenia g, na przykładzie rozpatrzmy dwa zbiory liczb. A i li

A    6    8    10    12    IJ

B    6    8    10    II    15

Liczby te wyrażone jako odchylenia od średniej przybierają postać:

A    -a    -2    o    *4

B    -4-2    0    ♦!    *5

Zbiór A jest symetryczny, natomiast zbiór B jest asymetryczny. Powyższe od. lenia podniestone do trzeciej potęgi przedstawiają się następująco:

A    -6t-« 0 4    *61

B    -64 -8 0 ♦! +125

Dla zbioru A ;n_x = 0 i g, = U. Dla zbioru B m» = 10.80. nu = 9,20. a g, ^ (>>' Zbiór B jest zbiorem liczb skośnym dodatnio.

Powszechnie stosowana miara kurtozy wykorzystuje czwarty moment i definiowana w sposób następujący:

leptokurtyc/nego _K: ,est więks/c n„ 0. w przypadku zaś rozkładu platykurtyc/neyo g. jest mniejsze ni/ 0.

Dla przykładu rozważmy następuj#* zbiory liczb

A    6    8    10    12    |4

H    5.64    9    10    u    14J6

Przyjrzenie się tym zbiorom nasuwa przypuszczenie, ze oba piatykartycznc. przy czym zbiór A powinien byt' bardziej platykurtyc/ny mz zbiór H Oha te zbiory irzb mają jednakową średnią i jednakowe odchylenie standardowe, oba są tez ymeiry-czne. A jednak różnią się one pod względem kurtozy Odchylenia od średniej po podniesieniu do czwartej potęgi przedstawiają sję następująco

A    256    >6    0    16    256

B    361.36    I    0    I    36136

Dla zbioru A m_t = 108.80. dla zbioru B m_x = 144.94 Dla obu zbiorów A i B m_: = 8.00. Dla zbioru A g_z = -1,30. dla zbioru B _8: = -4).74. Oba te zbiory m platykurtyczne. ale zbiór A jcm bardziej platykunyc/ny niż zbiór B c-. pokazuje statystyka gj.

5.12. Prosty system opisu statystycznego

Średnia, odchylenie standardowe oraz miary skośności i kurtozy tworzą prosty system służący do opisu zbiorów liczb i do porównywania dwóch zbiorów między sobą. Gdy sporządzamy te cztery charakterystyki. X. s. gi i g;. mówimy prawie wszystko, co warto powiedzieć. System ten jest oszczędny i elegancki Niewiele jest takich sytuacji, w których sporządzając cztery ścisłe i proste charakterystyki, mówimy prawie wszystko, co ważne. Prawdą jest. ze przy porównywaniu dwóch zbiorów liczb X, s. gi i g: mogą być jednakowe, a mimo to liczby w tych zbiorach mogą być różne. Różnice takie można badać za pomocą momentów wyższych, ale z punktu widzenia celów praktycznych różnice te okazują się banalne

Definicja ta opiera się na zaobserwowanym fakcie że gdy duże odchylenia średniej zostaną podniesione do czwartej potęgi, to w istotny sposób w/maern. czwarty moment. Pojęcie kurtozy bardziej wiąże się ze względną gęstością połowa rozkładu, aniżeli z tym. że jeden rozkład może być bardziej płaski bądź bard/ stromy niż inny Duże odchylenia od średniej znacznie bardziej wzmacniają c/u ty moment aniżeli odchylenia mniejsze. Człon w; stosuje się dla zapewnienia : równywalności. Słoty on temu samemu celowi, co in₂\nu w definicji g,. Licz 3 pojawia się tu. ponieważ w przypadku rozkładu normalnego stosunek mjnr Znaczy to. ze w przypadku u»zkładu normalnego g₂ = 0. W przypadku ro/kU'-

Podstawowe terminy i pojęcia

Rozstęp (rangę)

Odchy lenie przeciętne {mcon deyiation)

Wariancja w' populacji, a¹ (population yariance)

Wariancja z próby, y* (samplc yariance)

Estymator: obciążony, nic obciążony (estimale: biascd. unbiascd) Stopnic swobody, df idegrees of freedom)

Odchylenie standardowe z. próby, j i samplc Mundurd dcuaium) Wynik standardowy. ; (standard scorc)

Momenty średniej (nwments ahout the mcan)

Miara skośności. gi (mcasurc of skfwness)

Miara kurtozy. g; {mcasurc of kurtosis)

96

97