Capture057

rzucenia orła prze/ p, a prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki pr/e/ ,, przypadkup ♦ ./ - I. Osiem możliwych wyników i związane z nimi prawd,, bieństwa można przedstawić w następujący sposób:

	Praw xJ0godt*icftriwo
<KK>	r
OOR	r*>
ORO	py
ROO	ry
RRO	PT,
ROR	f*ł\
ORR
RRR
Prawdopodobieństwa uzy
następująco:
Liczba ortów	Pńw-dopodobieńttwó
3	p\
2
1
0	ę

Zwróćmy uwagę, że dwa orły mogą wystąpić na trzy rozmaite sposoby, co w\r._; 1 liczba kombinacji trzech przedmiotów po dwa naraz, czyli (3 x 2)/(2 x li Jeżeli powyższe prawdopodobieństwa dodamy do siebie, otrzymamy:

/>'+ 3p"n + 3ptp + (f - I

Jest to przykład tego. co nazywamy rozkładem dwumianowym. Pr, dopodobieflstwa związane z 3. 2. 1 i 0 orłami w opisanej sytuacji sa dane w h i-prosty sposób przez, kolejne człony rozwinięcia wzoru (/> + </)'. W naszym | kładzie p = q = 1/2. a potrzebne prawdopodobieństwa są następujące:

(1/2 «■ 1/2)' = (iny ♦ 3(1/2)’ ♦ 3(1/2)’ ♦ (1/2)’ = 1/8 + 3/8 + 3/8 + |/8

Rozważmy bardziej złożony przykład z rzucaniem dziesięcioma monetami

miast trzema Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania 0. 1, 2.....10 orłów ’ V.

simy określić prawdopodobieństwo otrzymania 0 orłów i 10 reszek. 1 orła i 9 rv'/.>

2 orłów i 8 reszek itd. Oznaczmy dzaesięc monet literami A. B. C, D. E. F. C. H.

J Przyjmijmy, ze wszystkie te monety są rzetelne i że prawdopodobieństwo w u, | ccma orła lub reszki w pojedynczym rzucie którąkolwiek z nich wynosi 1/2.

Zajmijmy się najpierw prawdopodobieństwem wyrzucenia 0 orłów i 1() r przy rzucie wszystkimi monetami. Prawdopodobieństwo, że na monecie A nic w . padł orzeł, wynosi 1/2, prawdopodobieństwo, ze na monecie B nie wypadł or/. wynosi 1/2. prawdopodobieństwo, żc na monecie C nie wypadł orzeł, wynosi itd Zatem na podstawie twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw pra\vdo,W. bieństwo. zc na wszystkich dziesięciu monetach nic wypadnie orzeł albo ze '

padną na ruch res/kuotr/y,nu,cmy prze/ d/,c*,«c,okrutne pr/erono/eme 1/2. czyi.

0/2) .łii*"    \.a przy    "»numoneyBńfcitBłrte I mm

na 1024. żc otrzymamy 0 reszek lub 10 orłów.

Rozważmy tera/ sprawę otrzymania I orła , 9 reszek Prawdop^jobicńuwo żc na monecie ó wypadnie orzeł, wynosi 1/2. Prawdopodobieństwo. na wszy. slkich pozostałych monetach wypadną rcv/ki. wynos. (|/2)\ /aicm prawdopodo-bieństwo. żc na monecie A wypadnie orzeł, a na wy/yMk.ch pozostałych resAi. wynosi (1/2) . Łatwo jednak zauważyć, ze I orzeł mo/e pojawić wę na 10 rozmaityd. sposobów. Orzeł może pojawić się na monecie A. a na wszystkich pozostałych res/k. or/el może pojawić się na monecie H. a na wszystkich pozostałych reszki ud Poraewaz orzeł mo/c pojawić się na 10 rozmaitych sposobów, prawdopodobieństwo otrzymania | orła i 9 reszek wynosi IO(l/2>¹⁰ = l(VK)24 Zatem przy rzucaniu 10 monetami istnieje 10 szans na 1024. żc uzyskamy I orła i 9 reszek

Prawdopodobieństwo uzyskania 2 orłów i K reszek można określić w analo-gic/ny sposób Prawdopodobieństwo, /c na monetach A i B wypadną orły. wyno-.i (1/2)"- Prawdopodobieństwo, żc na wszystkich pozostałych monetach wypadną reszki, wynosi 11/2) . Prawdopodobieństwo, że na dwóch monetach wypadną orły. a na wszystkich pozostałych reszki, wynosi (1/2)¹ . Łatwo możemy jednak zauwa/yc. żc dwa orły mogą pojawić się na dość du/o rozmaitych sposobów. Liczba tych sposobów jest liczbą kombinacji 10 przedmiotów po dwa naraz. C$®, czyli 10 x x 9/2 = 45. Zatem prawdopodobieństwo otrzymania 2 orłów i 8 rcs/ck wynosi 45(1/2)’° albo 45/1024. Analogicznie określamy prawdopodobieństwo uzyskania 3 orłów i 7 rcs/ck. Cj°(l/2)^,u = 120/1024. Podobnie prawdopodobieństwo uzyskania 4 orłów i 6 reszek. Cl"(l/2)'" = 210/1024 itd Prawdopodobieństwa otrzymania różnych liczb orłów i reszek przy rzucaniu dziesięcioma monetami są więc następujące:

Liczba orłów	Prawdopodobieństwo
10	1/1024
9	10/1024
8	45/1024
7	120/1024
b	210/1024
5	252/1024
4	210/1024
3	120/1024
2	45/1024
1	10/1024
0	1/1024

Powyższe prawdopodobieństwa są kolejnymi c/łonami rozwinięcia symetrycznego dwumianu (1/2 + 1/2)*°- Rozwinięcie to ma postać:

112

113