Capture056

jemy przedział) klasowe - prawdopodobieństwa związane / określonymi działami zmiennej.

Rozkłady omówione wyżej są teoretycznymi rozkładami prawdopodohen W przykładach z monetami i kostkami do gry zbiór jednakowo możliwych ,.j da mc wyszczególnić. Liczebno# i prawdopodobieństwo pewnych innych /.i (liczby orłów, sumy liczb na dwóch kostkach) mo/na w związku / tym ,ą._; bezpośrednio. Nic jest w tym celu konieczne dokonywanie rzeczywistych u monetą czy kostką. Liczebności i prawdopodobieństwa tych zdarzeń wyprou mc bezpośrednio tylko z podstawowych rozważań teorerycznych. Oczywiście rr. na by rzucać monetą oraz kostką i w ten sposób uzyskiwać eksperymentalni.; . powiędnie rozkłady liczebności. Następnie mo/na by je porównywać be/posreć-z rozkładami wyprowadzonymi z rozważań teoretycznych. Rozkłady prawdo^, bieństwa można przedstawiać graficznie, tak samo jak rozkłady liczebności, n. sząc na oś pionową wykresu, zamiast liczebności, prawdopodobieństwa.

W dalszych podrozdziałach omówiony zostanie szczególny typ tcoretyc/r. rozkładu prawdopodobieństwa, znany jako rozkład dwumianowy. Zanim jedr.., przystąpimy do omówienia rozkładu dwumianowego, warto, by Czytelnik pr/ _:. mniał sobie swoje wiadomości na temat pcrmutacji i kombinacji.

6.7. Permutacje i kombinacje

Rozważmy następujący rodzaj zadań. Na ile sposobów można ustawić na p. ', cztery książki? Na ile sposobów można posadzić przy stole sześć osób ’ N., sposobów można ułożyć w pojemniku tuzin jajek? Pytania tc dotyczą liczb) n zliwych układów pewnego zbioru elementów. Każdy z takich układów na/\w._: penmtacją. Istotnym pojęciem jest tutaj uporządkowanie. Inne uporządkowanie inny układ.

Rozważmy dwa obiekty, które nazwiemy A i B Są tu możliwe dwa ukL AH i BA. Liczba pcrmutacji wynosi więc 2. W przypadku trzech obiektów. ,\ i C. możliwych jest sześć układów: ABC. ACB. BAC. BCA. CAB. CBA. l.wr pcrmutacji wynosi w tym przypadku 6, W tym przykładzie istnieją trzy mo/liu. . umieszczenia pierwszego elementu Gdy dokonamy wyboru, pozostają dwie mu/1 wości umieszczenia drugiego elementu. Gdy wybierzemy dla niego miejsce, po/, taje jedna możliwość umieszczenia trzeciego elementu. Liczba pcrmutacji w t\: przypadku wynosi 3 x 2 x I =6. Ogólnie rzecz biorąc, jeżeli istnieje n ro/n., obiektów, liczba pcrmutacji /i-tych obiektów naraz równa jest n! lub n silnia . oznacza iloczyn wszystkich liczb od I do n albo ;j(/i - l )(/i - 2) — 3 x 2 x I I)!; n = 4. «' = 4 x 3 x 2 x | = 24. dla n - 5. n\ = 5 x 4 x 3 x 2 x I = 120.

Rozważmy liczbę możliwych układów, w jakich można posadzić ośmiu aos. na oś nu u krzesłach przy stole. Pierwszy gość może usiąść na którymkolwiek z ośmiu krzeseł. Gdy pierwszy gość juz siedzi, drugi gość może usiąść na ktorsin kolwick z siedmiu pozostałych krzeseł. Zatem liczba możliwych układów dla pierw

go obiektu, dziewięć sposobów wybrania drugiego , osiem spmobów w₇brama trzeciego. Liczba układów wynosi tu więc 10 x 9 x H = 720 Ogólnie rzecz bmrąc liczba pcrmutacji n przedmiotów po r naraz równa jest

.    ------ nuwwając liczbę układów dziesięciu

obiektów po trzy naraz, /auwa/amy. * _JC>, dńewęć sposobów wybranu pierw ./r-

o.. r\Ku>L lll il/ti>atr*/ (iVirAk/... .... L__r •

= n{n -    • (n-r+|) = -j£—

(n - r)f

(6. U

Liczba różnych sposobów, na jakie można wybierać obiekty ze zbioru, ignorując ich uporządkowanie, to liczba ich kombinacji Dla obiektów A. B. C \ D liczba pcrmutacji dwóch obiektów wynosi 4 x 3 = 12. Są to następujące układy: AB. BA. AC. CA, AD. DA, BC, CB, BD, DB, CD i DC. Zwróćmy uwagę, ze para występuje w dwóch różnych uporządkowaniach. Jeżeli zignorujemy uporządkowanie ka/dej pary obiektów, otrzymamy liczbę ich kombinacji. W tym przykładzie każda para pojawia się w dwóch różnych uporządkowaniach Liczba kombinacji wynosi więc (4 x 3j/2 = 6. Ogólnie rzecz biorąc, liczba różnych kombinacji n przedmiotów po r naraz równa jest

Liczba kombinacji dziesięciu przedmiotów po 3 naraz wynosi 10!A3!7!)= 120.

Liczba kombinacji n przedmiotów po n naraz wynosi oczywiście 1. ponieważ istnieje tylko jeden sposób wybrania wszystkich n obiektów, jeżeli ignorujemy ich uporządkowanie.

6.8. Rozkład dwumianowy

Jak powiedziano wyżej, przy rzucaniu trzema monetami istnieje osiem możliwych, jednakowo prawdopodobnych wyników: OOO. 00R. ORO. ROO. RRO. ROR. ORR. RRR Przypuśćmy teraz, że chcemy policzyć orły. W pierwszym wyniku są trzy orły. w drugim dwa. w trzecim dwa ud. Jeżeli teraz chcemy określić prawdopodobieństwo uzyskaniu 3. 2. I i 0 orłów, prawdopodobieństwa te wynoszą oczywiście odpowiednio: 1/8. 3/8. 3/8 i 1/8. Oznaczmy prawdopodobieństwo wy*

111