Capture058

Jest to sjciftgótny przypadek dwumianu symetrycznego (1/2 + 1/21 i, człony sa następujące:

Dwumian symetryczny jest szczególnym przypadkiem ogólnej postuu munu ip ♦ q\‘. gdzie p jest prawdopodobieństwem wystąpieniu zdar/cn prawdopodobieństwem nic wystąpienia zdarzenia, czyli p + q = I. Dwumian można zapisać w następujący sposób:

ip ♦ q)^H = /»" np*-'q ♦

n(n - 1)

1x2

pT‘q-

⁺ "'Tx2^Mx3²⁾^'^V+    +<r    "■

Człony tego wyrażenia dla /i = 2, n = 3 i n = 4 sa następujące:

(p + qf = pi* + 2pq + <f

ip + q)^} = p' ♦ }p²q +    ♦ </'

ip + q\* = p* + 4p-q + 6pV 4/></‘ ♦ q*

Dwumian ip ♦ </)* można z. łatwością zilustrować na przykładzie / rzuca . kostkami do gry Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania pięciu, c/tcn. trzech. dwóch. jednej i zero szóstek przy rzucaniu pięcioma rzetelnymi kosił.. Przy rzucaniu jedna kostka prawdopodobieństwo otrzymania szóstki wynosi I s prawdopodobieństwo nieotrzymania szóstki wynosi 5/6. Potrzebne prawdojsc bieństwa sa dane przez sześć członów dwumianu (1/6 + 5/6)’:

5 - 4 I x 2

a-tr■ «)’*

Zatem prawdopodobieństwa otrzymania pięciu, czterech, trzech, dwóch. jedn. zero s/ostek przy rzucaniu pięcioma kostkami przedstawia się następująco

Wymk	l‘rjM*J.<p.«doN,-nano
5	1/7776
4	25/7776
3	2507776
2	1250/7776
1	3125/7776
0	3125/7776

Ismiejc )«*• «*"« »» ™ '""y^nu [Męcm    _{25 M} 7776 «„v

munu czterech szóstek itd Ten rn/kUd je*i n,/kładem me%vmefrvt/nvn.

Ka/dy człon rozwinięcia dwumiana mo/na _faptxać * po*™ *

(6 5)

OrV

gdwc Ci jeM liczbą kombinacji „ przedmiotów po r nam/. Żalem prawdopodobn*-stwo otrzymania 3 orłów w 10 r/utach monetą wynosi:

■Jg. riy/iY. 120

11(10-3)! V2i -    1024

3’(10 — 3>! \2/ \2/    1024

Współczynniki C? w dowolnym rozwinięciu są następujące:

1x2    1x2x3    •* •

Współczynniki te można szybko uzyskać dla różnych wartości n z tzw trójkąta Pascala, który przedstawia tabela 6.1

Tabela 6.1 Trójkąt Pascala

0			1
1			1 1
2			1 2 1
3			13 3 1
4		1	4 6 4	1
5		1	5 10 10 5	|
6	1	6	15 20 15	6 1
7	t	7	21 35 35 21	7 1
s	1 8	28	56 70 56	2S 8 I
9	1 9	36	R4 126 126 X4	36 9 |
10	1 10 45	120 210 252 210		120 45 10 1

Współczynniki dla różnych wartości n wypisane są rzędami w postaci trójkąia. Każda liczba w dowolnym rzędzie stanowi sumę liczb znajdujących się po jej lewej i prawej stronie o jeden rząd wyżej. Trójkąt Pascala jest bardzo przydatny do uzyskiwania oczekiwanych liczebności i prawdopodobieństw Na przykład dla /i = 10 liczby w trójkącie wyrażają oczekiwane liczebności orłów lub reszek przy rzucaniu dziesięcioma monetami 1024 razy. Potrzebne prawdopodobieństwa uzyskujemy w tym przypadku, dzieląc liczebności przez. 1024.

6.9. Właściwości dwumianu

Dla dwumianu symetrycznego, gdzie p - «/ = 1/2, średnia, wariancja, skośnośc i kurtoza są następujące:

115