Capture078

Znając \ i P. jak możemy napisać prosty wzór na wariancję .Y ♦ 1 ,_u , ,

A - P? Rozwiązanie jeat bardzo proste. Zwróćmy uwagę, ze sumy A i ) _rnu'

V    ♦ T. czyli sumie obu irednich. Również średnia różnic między A i > _r..*_r

Y    - F. czyli różnicy obu średnich.

Wanancję sum A i Y można zapisać następująco:

, _ zi(x+n-(X+w _ ii(.v-X)+< p-fn^: _

W-l    AT-1

ka-.yj^: . Kr-yv . 2i(A-Yj<> - r>

= \rr⁺ iV -1 ⁺ N -r    -

Wyrażenie to pokazuje. że wariancja sum równa jest sumie d\w nancji plus wielkość 2rs_ts,. Wielkości typu rsj, noszą nazwę kowariancji / my uwagę, zc kowariancja równa jest I(A - X) () - Fl/(W - I) albo. / /um, nicm zapisu dla odchyleń. l.ry/(JV - 1J.

Wzór na wariancję sum stanowi prostą ilustrację pewnej koncepcji, di. k; często odwołuje się cała statystyka. Pokazuje ona. że wariancję, w tym koni r. -przypadku s],można traktować jako złożoną z dwóch oddzielnych, dodauj -do siebie części, czyli zc wanancja daje się podzielić na dodawałne do części. Tu wy kazano, że wanancja sum składa się z trzech dodawalnych do części, wariancji A. wariancji Poraź części, za którą odpowiedzialna jest k. .i cja A i P. Zastosowany tu prosty zapis, traktujący wanancję jako /.łożoną / walnych do siebie elementów, ma bardzo ogólny charakter i znajduje zastoso... w wielu sytuacjach.

To. co powiedziano wyżej, dotyczy tylko dwóch zmiennych. Pr/od-t.^ sposób rozumowania można też jednak stosować w sytuacjach z dowolną . zmiennych. Rozważmy zmienne A,. A. i A,. Wanancję i kowariancje nuvr._ wygody zapisywać w postaci małej tabeli bądź macierzy kowariancji:

1	*ł	3
	^ru»i'j	'■»**!»»
Wt	-5	^raV«
		9

Trzy wanancję zapisane są wzdłuż głównej przekątnej, kowariancje /■■■-jednej z obu stron głównej przekątnej. Wariancja sum jest po prostu sumą u-stkich elementów- tabeli bądź macierzy kowariancji. A zatem dla trzech zmień;;..' wanancja sum wynosi:

*T. 2. » = ‘7 + $2 + *3 + 2r,;s,f₂ + 2r,v<f|.*j +    .

To rozumowanie można uogólnić na dowolną liczbę- zmiennych. Wanancja m zmiennych jest po prostu sumą wszystkich elementów / tabeli lub macier/y k. nancji o k w ierszach » kolumnach.

Rozwalmy tera/ wariancję różnic między X . Y. _C/yt, wanancK X -Y W*, nancję IC można zapisać następująco

/V- |

Po zastosowaniu przekształceń algebraicznych, podobnych do utytych wyżej dla wariancji sum. otrzymujemy następujmy wzór na wanancję różnic

^a ♦ i², - 2/1,1,.    (8 16,

Zatem wanancja różnic jest suma dwóch wariancji minus człon kowanancyjny 2rtJr

Należy podkreślić, że jeżeli dwie zmienne sa wzajemnie niezależne czyli mc skorelowane, to r = 0. stad 2rsj, = 0 i wanancja sum jest sura* oddzielnych wariancji. Zatem JJ*., = ■*» + '7- Tak jest w przypadku dowolnej liczby zmiennych. Wariancja sumy A niezależnych albo me skorelowanych /micnnsch jest suma oddzielnych wariancji. Dla dwóch zmiennych niezależnych wanancja różnic również jcsl suma dwóch oddzielnych wariancji, czyli jj} + i; Możemy więc zapisać, że dla dwóch zmiennych niezależnych    ,

Czytelnik zwróci zapewne uwagę. z.e gdy powyższe równanie zapiszemy wprost dla r. otrzymamy:

r =

5_ + Ś - Ś_,

2v.

*8.17>

Wzór ten stosowany był niegdyś powszechnie do obliczania współczynnika korelacji.

Podstawowe terminy i pojęcia

Pary pomiarów (pairtd obswalions)

Przewidywanie (predictioń)

Regresja i regression >

Regresja liniowa (linear regression)

Związek dodatni doskonały (perfect posilne relalion)

Związek ujemny doskonały (ptrftci negatne relalion)

Diagram rozproszenia {Kultur diagram)

Nachylenie (stopę)

Regresja liniowa Y względem X (linear regression oj ) on \) Regresja liniowa .V względem Y (linear regression of X on 11 Metoda najmniejszych kwadratów¹ (melhod of leaji mjuares) Wartoić przewidywana (predicted wlue)

Błąd przewidywania (error of predktion)

155