CCF20090120109

y — In 2. Wielkość y reprezentuje odległość OE, Wielkość z została już wyrażona przez OC. Krzywoliniowy rowek GD jest wykresem związku y — ln z. Pręt CD jest stale poziomy, a pręt ED zawsze pionowy. Oba te pręty przechodzą przez pierścień w punkcie D.

Możemy teraz odtworzyć przebieg wypadków. Gdy x{OA) zmienia się, wówczas z{OC) nie może pozostać w bezruchu; także zmiana OC powoduje zmianę OE(y).

Jaka jest szybkość tych zmian? Wiemy, że z wzrasta razy szybciej niż x, a y wrasta ~

razy szybciej niż z. A zatem y musi wzrastać

dy dz    .....    . dy dy dz

* i— razy szybciei mz x. Stąd ~ — -dz dx ^{J J J}    dx dz dx

Jest to twierdzenie o funkcji funkcji (o funkcji złożonej) i prędkości jej zmiany.

dy

W naszym przykładzie łatwo znaleźć-^- - Mu-dy dz

simy znaleźć i — , a następnie wielkości te

przemnożyć przez siebie. Nie ma żadnych trud-dz

ności z obliczeniem — . Mamy z = x²~\~x, a więc j

dz

dx

dy

= 2cc+l.

Obliczmy teraz • Mamy y =

= ln z. W rozdz. 11 stwierdziliśmy, że Ince rośnie z prędkością—. Słowami wzór ten można

wyrazić następująco: „Logarytm naturalny dowolnej wielkości rośnie z prędkością równą jedności podzielonej przez tę wielkość”. Nic się nie zmieni, jeżeli tę wielkość oznaczymy przez

z zamiast przez x. Tak więc ^    ~ . Zgodnie

z tym ^ = ^ł“(2cc + 1). Ale z jest skróconym zapisem wielkości z drugiej kolumny, x¹~tx. Powyższa odpowiedź jest więc tym samym, co

i talkie jest ostateczne rozwiązanie za-

OC f ’ OC

dania.

Tworząc .kombinacje przedstawionych wyżej

dy

wyników można znaleźć ^ dla bardzo skomplikowanych wyrażeń.

CAŁKOWANIE

Rozpatrzyliśmy zagadnienie różniczkowania, tj. zagadnienie znalezienia prędkości y' ciała poruszającego się w sposób opisany pewnym wzorem dla wielkości y. Często powstaje zagadnienie odwrotne: znamy prędkość ciała w każdej chwili, a mamy Obliczyć odległość przebytą przez ciało po upływie dowodnej liczby .sekund. Inaczej mówiąc, idany jest wzór na y , a mamy znaleźć wzór na y. Jest to zagadnienie całkowania.

Rzecz jasna, nie musimy traktować y' jako prędkość poruszającego się ciała. Wielkość y wyraża tempo zmiany wielkości y, bez względu na to, czym jest y. Łatwo np. stwierdzić, jak szybko wzrasta ciśnienie, gdy nurek zanurza się coraz głębiej w morzu. Tak więc y mogłoby wyrażać ciśnienie przypadające na jeden decymetr kwadratowy hełmu nurka, gdy znajduje się on na głębokości x m. Łatwo znaleźć tempo wzrostu ciśnienia, czyli y'. Aby znaleźć y, trzeba zastosować 'całkowanie (bardzo łatwe w tym szczególnym przypadku). Całkowanie stosuje się także przy obliczaniu ciśnienia atmosferycznego na różnych wysokościach, co jest ważne dla alpinistów, lotników czy meteorologów. Bardzo mało

221