CCF20090120113

łych cząstek — wszystkich małych zmian wielkości y zachodzących w krótkich odstępach czasu, jakie kolejno mijają.

RÓŻNE PODEJŚCIA DO ZAGADNIENIA CAŁKOWANIA

Dobrze jest znać różne sposoby otrzymywania tego samego wyniku. W każdym zagadnieniu można wówczas wybrać najodpowiedniejszą interpretację.

i

Symbol \ xdx możemy tłumaczyć jako odle-o

głość przebytą w ciągu pierwszej sekundy przez ciało, którego prędkość jest zawsze równa liczbie sekund, jakie upłynęły (uwzględniając także części sekundy).

W celu zarejestrowania takiego ruchu moglibyśmy posłużyć się urządzeniem opisanym na początku rozdz. 11. Ale byłoby raczej trudno osiągnąć to, aby prędkość y' była stale dokładnie równa liczbie sekund x. Zadowolimy się więc jeszcze raz pewnym przybliżeniem. Niech w ciągu pierwszej dziesiątej części sekundy koniec ołówka pozostaje w spoczynku w szparze AB. W ciągu następnej dziesiątej części sekundy niech ołówek porusza się w górę z prędkością 0,1 stopy na sekundę; od x = 0,2 do x — 0,3 niech jego prędkość wynosi 0,2 stopy na sekundę itd. Niech więc prędkość w ciągu każdego przedziału czasu zawartego w pierwszej kolumnie tab. 14 będzie równa liczbie podanej w drugiej kolumnie tej tabeli. Otrzymany wykres będzie się składał z odcinków prostej połączonych ze sobą jak łańcuch. Jak stwierdziliśmy w rozdz. 11, y mierzy stromość tych odcinków. Ponieważ y' stale rośnie, każdy odcinek będzie bardziej stromy niż odcinek poprzedni. Tak więc całkowanie moglibyśmy równie dobrze wyjaśnić, rozpatrując następujące zagadnienie: wiadomo, jak stroma jest krzywa w każdym punkcie; należy narysować tę krzywą.

Tabelę 14 można również interpretować bezpośrednio. Liczby czwartej kolumny otrzymuje się mnożąc liczby drugiej kolumny przez 0,1. Ale iloczyn — np. 0,9 ■ 0,1 — można wyobrazić sobie jako pole prostokąta o bokach 0,9 i 0,1. Dziesięć liczb czwartej kolumny można przedstawić jako pola dziesięciu prostokątów, jak na ryc. 40. Sumę tych liczb, 0,45, wyobraża całkowite pole poniżej linii ciągłej. Na tym samym rysunku pole poniżej linii przerywanej przedstawia sumę liczb kolumny piątej, a więc 0,55.

Pomiędzy linią ciągłą a przerywaną znajduje się dziesięć kwadratów, każdy o polu równym 0,01. Kwadraty te wyobrażają liczby z ostatniej kolumny.

i

Wiemy, że j x dx wyraża pewną liczbę więk-o

szą niż pole znajdujące się poniżej linii ciągłej, a mniejszą niż pole znajdujące się poniżej linii przerywanej. Kreśląc zamiast 10 stopni 100 stopni, otrzymalibyśmy lepsze pojęcie o szukanej liczbie. Ale bez względu na to, ile mamy stopni, linia ciągła leży zawsze poniżej prostej AB, a linia przerywana powyżej. Jeżeli narysujemy prostą AB, to pole trójkąta ABC będzie zawsze większe niż pole znajdujące się poniżej linii ciągłej, a mniejsze niż pole znajdujące się poniżej linii przerywanej. W rzeczywistości pole trój-

i

kąta ABC jest równe szukanej liczbie j x dx.

o

Jest to stwierdzenie ogólne. Jeżeli f(x) jest do-

b

wolną funkcją, to J* f(x) dx zawsze wyraża pole

a

znajdujące się poniżej wykresu funkcji f(x), dla

229