CCF20090120139

JAK DOJ&C DO FUNKCJI e*?

Wiele podręczników podaje wyjaśnienia liczby e, które są 'poprawne i logiczne, ale wywołują u Czytelnika wrażenie, że wszystko to „spadło z nieba”; rozumowanie jest logiczne, ale jak je odkryto? Z czym to wszystko jest związane?

Mieliśmy już do czynienia z takimi wyrażeniami, jak 1CP, a^x, lnx. Spróbujmy teraz zebrać fakty dotyczące tych wyrażeń i znaleźć związki zachodzące imiędzy nimi.

Pomysł funkcji wykładniczej wyrasta bezpośrednio z praktyki pożyczania pieniędzy. Sposób, w jaki dług rośnie i dławi swoją ofiarę, jest historią starą, zarówno w rzeczywistości, jak i w fikcji. Jeżeli lichwiarz udziela pożyczki 100 £ w zamian za 110 £ po upływie miesiąca i jeżeli za miesiąc dłużnik nie może zwrócić długu, to jest on zmuszony zawrzeć nową umowę o pożyczkę na tych samych warunkach na miesiąc następny; ale ta nowa pożyczka wynosi już 110 £, a nie 100. W ciągu roku dług wzrośnie do przeszło 313 £. Dług w każdym kolejnym

miesiącu zostaje pomnożony przez 1—. (Porównaj z podrozdziałem „Jak odkryto 1 ogary tmy” w rozdz. 6.) 10% miesięcznie równa się 213% rocznie, czyli znacznie więcej niż 12 razy 10%.

Moglibyśmy odwrócić zagadnienie i spytać: jaka miesięczna stopa procentowa jest równa 5% rocznie? Moglibyśmy wypróbować .różne miesięczne stopy procentowe, aż znaleźlibyśmy taką, która dawałaby (z wystarczającym stopniem dokładności) 5% rocznie. Moglibyśmy spytać dalej, jaka tygodniowa stopa procentowa i jaka dzienna stopa procentowa odpowiada stopie 5% rocznie. Gdybyśmy chcieli, moglibyśmy znaleźć stopę procentową na godzinę, na minutę lub na

sekundę. Istniałaby tylko jedna poprawna odpowiedź na każde z tych pytań. Ustalając roczną stopę procentową automatycznie ustalamy stopę procentową dla każdego innego okresu czasu.

Przypuśćmy np., że roczna stopa procentowa wynosi 100% i że niedoświadczony lichwiarz pobiera 40% za sześć miesięcy. Wówczas nikt nie pożyczałby pieniędzy na rok. Taniej byłoby pożyczyć na dwa okresy po sześć miesięcy. Pożyczka 100£ oznaczałaby, że po sześciu miesiącach trzeba zapłacić 140£. Ten dług można by spłacić zaciągając nową pożyczkę 140£. Procent od tej kwoty pożyczonej na sześć następnych miesięcy na 40% wyniósłby 56£, tak że pod koniec roku trzeba by zapłacić 196£. Pożyczając od razu 100j£ na rok trzeba by zapłacić 200 £. Podobnie, gdyby stopę procentową na sześć miesięcy ustalono na 50%, to ludziom opłacałoby się pożyczać pieniądze od lichwiarza na rok (na 100%), a następnie pożyczać je komu innemu na dwa okresy po sześć miesięcy (na 50%): w ciągu pierwszych sześciu miesięcy 100 £ dałoby 150 £; w ciągu następnych sześciu miesięcy 150 £ dałoby 225 £; po zwróceniu lichwiarzowi 200 £, pozostałby zysk 25 £. Ze względów praktycznych stopa procentowa na okres sześciu miesięcy powinna więc być nieco większa niż 40%, ale mniejsza niż 50%.

Moglibyśmy sporządzić tablicę pokazującą, ile dałby 1 £ po dowolnym okresie czasu — po tygodniu, dniu, godzinie, minucie — jeśli podana jest roczna stopa procentowa. Jeżeli 1 £ daje w ciągu roku a £, to w ciągu n lat (gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą) da on aⁿ £. Naturalną więc rzeczą jest przyjąć, że a^1/2 £

wyraża kwotę, jaką 1 £ da po upływie — roku.

' Z

Znak a^lft sam przez się nic nie znaczy. Na południu Anglii słowo stack oznacza stóg siana, a na północy — komin; -spieranie się, co jest

281