CCF20140608006

2.3. Metryka Hausdorffa 29

Definicja 2.4. Odległością Hausdorffa między zbiorami A i B nazywamy wyrażenie

h(A, B) = inf{r: A C U(B;r), B C U{A;r)}    (2.14)

a funkcjonał h, który elementom A i B zbioru Ałf(X) przyporządkowuje liczbę (2.14), nazywamy metryką Hausdorffa.

Rys. 2.3. Ilustracja pojęcia metryki Hausdorffa

Odległość h{A,B) jest więc najmniejszym wspólnym promieniem takich otoczeń zbiorów A i B, że A należy do otoczenia zbioru B i B należy do otoczenia A. Na rysunku 2.3 pokazano przykładowe dwa zbiory: kwadrat A i odcinek B. Zbiór U ( A) ri ) jest najmniejszym otoczeniem kwadratu A zawierającym odcinek B, a zbiór U(B;r2) jest najmniejszym otoczeniem odcinka B zawierającym kwadrat A. Ponieważ promienie otoczeń r\ = d(B,A) i r^ = d(A,B) spełniają nierówność r\ < r-i, więc odległość Hausdorffa wynosi h(A,B) — r2-Można sprawdzić, że spełnione są wszystkie trzy aksjomaty metryki

h(A, B)> 0 dla A B i h(A, B) = 0 dla A = B h(A,B) = h(B, A)    - warunek symetrii

h(A, C) + h(C, B) ^ h{A, B) - nierówność trójkąta

Zbiór    w którym wprowadzono metrykę Hausdorffa, będziemy

oznaczać przez [jłf(X),h) i nazywać przestrzenią fraktali, nie dlatego, że wszystkie jej elementy są fraktalami, ale dlatego, że bardzo dużo znanych fraktali należy do tej przestrzeni. Można udowodnić, że jest to przestrzeń metryczna zupełna, a więc ciągi Cauchy'ego mają granice należące do tej przestrzeni.

Na rysunku 2.4 pokazano w górnym rzędzie pierwsze cztery wyrazy ciągu Ao, Ai, A2, A3,... „dziurawych trójkątów równobocznych" o boku równym jeden. Ponieważ każdy następny trójkąt zawiera się w poprzednim, więc odległość między dwoma wyrazami A„ i A_m (gdzie m > n) tego ciągu wynosi