IMAGE0138

126

gów w sposób indywidualny, nie arbitralny, z uzależnieniem od typu więzów brzegowych ilości dodatkowych zewnętrznych, tzw. fikcyjnych, punktów węzłowych, bowiem przy stosowaniu ilorazów różnicowych centralnych do zbioru dyskretnego węzłów z obszaru belki dołączone zostaną także węzły zewnętrzne.

Poniżej, dla kompletu informacji, zestawiamy cztery typy podparcia ewentualnie obciążenia brzegów belki zginanej - rys.6.2. Dla skupienia uwagi punkt brzegowy oznaczymy indeksem /, a punkty zewnętrzne /-1 oraz i—2.

a)

i— 1 i i+1    i—2 i — i + 1 t+2

-2 i-1^L i+1 i+2

Rys.6.2, Cztery warianty podparć belki zginanej

Rozważamy kolejno warunki brzegowe dla przypadków pokazanych powyżej: a) brzeg utwierdzony (rys.6.2a) - musimy zadać dwa warunki brzegowe kinematyczne

O II *■§ 1 "3 o II >	(6.4a)
które w zapisie różnicowym przyjmują postać
v, = 0 , “ ^v/-i + Vi = o 2X	(6.4b)
b) brzeg przegubowo podparty, nieobciążony (rys.6.2b) -warunek kinematyczny i jeden statyczny	formułujemy jeden
v = 0, M=-EJ- — = 0, dx^2	(6.5a)
otrzymując równania
Vj = 0, -^2>',=0, X^2	(6.5b)

c) brzeg utwierdzony, z możliwością pionowego przesuwu, z pionową siłą skupioną P (rys.6.2c) - zadajemy jeden warunek kinematyczny i jeden statyczny

dv    d'v

— = 0,    T ~ - EJ—_T = -P,    (6.6a)

dx    dx*

ująć następujące wzory różnicowe:

‘V. ⁺ vm ₌₀,

2X

-EJ-

+ v

2X³

— = -P,    (6.6b)

d) brzeg swobodny, obciążony brzegowym momentem skupionym M (rys.6.2d) -musimy zagwarantować w rozwiązaniu spełnienie dwu warunków statycznych

M = -EJ^ = M ,    T = -EJ^ = 0,    (6.7a)

dx-    dx³

które w wersji różnicowej przyjmują postać

-EJ-

- 2v_f +

X²

- M

-EJ-

■ Vj_₂ + 2vr_j - 2v_i+, + v,_₂

~2Xⁱ

• 0.

(6.7b)

Ostatecznie problem został opisany za pomocą układu liniowych algebraicznych niejednorodnych równań o niewiadomych wartościach ugięć w węzłach różnicowych.

6.4.2. Rozwiązanie belki wspornikowej

Rozważmy belkę wspomikow'ą z równomiernym obciążeniem p_y = const (przypadek I) lub z siłą skupioną P, przyłożoną do swobodnego końca (przy-

padek II).
^a)		b)
	Py	A P
	tti r	, x ! -1 0 1 2 3 4 5
i	L	A._1_L=4X ■_C
	■ y,v

Rys.6.3. Schemat belki (a), model różnicowy (b)

Dyskretyzując belkę wprowadzamy przykładowo pięć wewnętrznych punktów węzłowych, przyjmując odległość węzłów X = A.t = U4 .

W przypadku I , gdy uwzględniamy jedynie obciążenie równomiernie rozłożone p_r, mamy do rozwiązania niejednorodne równanie różniczkowe czwartego rzędu

cl\ _ Py

dxⁱ ~ EJ '

dv

dx

= 0,

z następującymi warunkami brzegowymi: dla x = 0: v = 0,

r -- ej = o.

dla x - L: M=-EJ~ = 0, dx"