Image44

86

Warunek ten w zapisie skalarnym w układzie kartezjaóskim przybiera postać:

erz	^dF>	II H	II CD
dy	dz ’	dz	dx	dx

^dh

dy

2.25. Pole zachowawcze w jednym inercjalnym układzie odniesienia U na ogół nie jest polem zachowawczym w innym inercjalnym układzie odniesienia U Wynika stąd, że w ogólności W ^ 0. Równość W = 0 może zachodzić tylko w szczególnych przypadkach, np. gdy pole w układzie U' pozostaje stacjonarne.

2.26. Praca nie zależy od drogi, gdy pole sił jest potencjalne, tzn. spełnione są warunki

dK_z _ dK_y    dK_y _ dK_x

dy dz ’    dz dx    dx dy

Warunki te spełnione są dla przypadków: e, f, g, h, L Tak np. dla przypadku i, wobec

mamy

i- A    - =

dy    dy \r^ó)    dr \r^ó / dy r dr \r^ó /

ety z d /1 \ r dr \r³/

dKy

dz

d (1 \    d (1 \ dr

^ay Fz \?) = 8r \?) Fz

BK. ₌ 8K,

dy dz

Podobnie udowadnia się pozostałe dwie relacje. Potencjał pola obliczamy ze wzoru:

i) _V (r) = V (r )

a

(x dx 4 y dy 4 z dz) = V (r₀) —

—b const,

V(x,    y, z) = V(x₀, y₀, z„) -

KJu, y₀, z_a) du + KJx, v, z.) dv +

+ K_z(x, y, s) ds

gdzie punkt (x₀, y₀, z₀) jest dowolnyr w prostokątnym układzie współrzędnych; współrzędnych (0, 0, 0).

, ustalonym np. może to

Dla poszczególnych przypadków mamy:

e) V(x, y, z) = gz + const,

f) V(x, y, z) — ^ k (x^z + y² + z²) -I- const,

2

g) V(x,y,z)= V (0, 0, 0) —

o

o

siny du -f

0 x

z

X

0

O

punktem odniesienia być początek układu

x cosi; dv 4-

ds =

X

y

o

o

= F(0, 0, 0) — fx j cost; dv 4- ds

— (x siny 4- z) 4- const,

-f h) V (x, y, z)

xyz 4- const,

gdzie pod całką uwzględniono zależność:

dr = ^ (x dx + y dy + z dz).

2.27 a.

F

m grad F(r),

i w ^    ^dV -

grad V(r) = = — r,

dr

gdzie przez r oznaczono wektor jednostkowy w kierunku r (r = r/r).