Image44 (15)

86

Warunek ten w zapisie skalarnym w układzie kartezjaóskim przybiera postać:

86

^dh

dy

dF

_ y

dz '

^dh

dz

^dh

dx

dF

y _

dx

^dh

dy

2.25. Pole zachowawcze w jednym inercjalnym układzie odniesienia U na ogół nie jest polem zachowawczym w innym inercjalnym układzie odniesienia U'. Wynika stąd, że w ogólności W' ^ 0. Równość W' = 0 może zachodzić tylko w szczególnych przypadkach, np. gdy pole w układzie U' pozostaje stacjonarne.

2.26. Praca nie zależy od drogi, gdy pole sił jest potencjalne, tzn. spełnione są warunki

dKz    _ dKy    dK^    _ dK,    dK_y    _ dK_x

dy dz ’    dz dx    dx dy

Warunki te spełnione są dla przypadków: e, f, g, h, L Tak np. dla przypadku i, wobec

r =    -f y² + z²,

mamy

dK_z    d /1 \    d /1 \ dr ocyz d (1\

dy ~ ^aZ dy \r³) " ^aZ Jr \?) dy “ “T dr

ocyz d /1 \ r dr \r³/

dy

dKy

dz

Podobnie udowadnia się pozostałe dwie relacje. Potencjał pola obliczamy ze wzoru:

KAu, y₀, z₀) du + KAx, v, z₀) dv +

V(x, y, z) = V(x„, y₀, z„) -

+ K_z (x, y, s) ds

i, ustalonym punktem odniesienia np. może to być początek układu

gdzie punkt (.x₀, y₀, z_a) jest dowolnyr w prostokątnym układzie współrzędnych; współrzędnych (0, 0, 0).

Dla poszczególnych przypadków mamy:

e)    V(x, y, z) =

f)    V(x, y, z) =

gz + const,

j k + y

+ z²) -f const,

g) V(x,y,z) = V(0

o

o

siny du -f

x cosr dv -f

ds

0 x

z-

x

0

X

y

= m o, o)

— x

cosv dv + ds

o

(x siny + z) + const,

h) V (x, y, z) = — xyz + const,

i) V(r) = V(r₀)

a

(x dx -f y dy + z dz) = V (r_Q)

f dr a

-*P⁼~r

—b const,

gdzie pod całką uwzględniono zależność:

dr = - (x dx + y dy 4- z dz). r

2.27 a.

F

m grad F(r),

dV -

grad V(r) = = — ^r,

gdzie przez r oznaczono wektor jednostkowy w kierunku (r = r/r).