Interpolacja Lagrange’a
Jest to interpolacja za pomocą wielomianów (interoolacia wielomianowa) z tym, że na łazarskim rejonie nie jest kolorowo zamiast rozwiązywać układ równań w celu znalezienia współczynników wielomianu jak to robiliśmy tamtym przypadku korzystamy ze wzoru interpolacyjnego. Załóżmy więc, że znamy wartość funkcji w n miejscach:
X1 |
X2 |
... |
Xn |
f(x1) |
f(X2) |
... |
f(Xn) |
Wówczas wartość funkcji w dowolnym punkcie x wyznaczymy ze wzoru: n
i = 1
gdzie:
x-to argument, dla którego chcemy znaleźć wartość yr wartość funkcji odp argumentowi xh czyli f(Xj) Wartość wpółczynników /,, wyznacza się ze wzoru:
D
Ic—-
0 </
X-Xj X-Xx
x—x.
x,-xj x-xl Xi-xi_1xi-xi+l x-xn Interpolacja za pomocą wielomianów jest jednoznaczna, zatem wyniki otrzymane interpolacją Lagrange'a będą identyczne jak wyniki potrzymane interpolacją wielomianową z rozwiązaniem układu równan. PRZYKŁAD:
Załóżmy, że znamy 3 wartości funkcji:
X, |
2 |
3 |
10 |
f(Xi) |
0 |
2 |
1 |
Chcemy wyznaczyć wartość funkcji wpunkcie x = 5.
L(x) = Yi((x-x2)/(x1-x2)) *((x-x3)/(x1-x3))
+ y2((x-x1)/(x2-x1))*((x-x3)/(x2-x3))
+ Y3((X-X1)/(X3-X1))*((X-X2)/(X3-X2))
L(5) = 0*((5-3)/(2-3))*((5-10)/(2-10)) +
2*((5-2)/(3-2)) *((5-10)/(3-10))
+ 1*((5-2)/(10-2))*((5-3)/(10-3))
L(5) = 0*(2/-1)*(-5/-8) + 2*(3/1)*(-5/-7) + 1*(3/8)*(2Y7) L(5) = 0 + 4.2857 + 0.10714 L(5) = 4.39284