lagrangea

Interpolacja Lagrange’a

Jest to interpolacja za pomocą wielomianów (interoolacia wielomianowa) z tym, że na łazarskim rejonie nie jest kolorowo zamiast rozwiązywać układ równań w celu znalezienia współczynników wielomianu jak to robiliśmy tamtym przypadku korzystamy ze wzoru interpolacyjnego. Załóżmy więc, że znamy wartość funkcji w n miejscach:

X1	X2	...	Xn
f(x1)	f(X2)	...	f(Xn)

Wówczas wartość funkcji w dowolnym punkcie x wyznaczymy ze wzoru: n

L(x) =

i = 1

gdzie:

x-to argument, dla którego chcemy znaleźć wartość y_r wartość funkcji odp argumentowi x_h czyli f(Xj) Wartość wpółczynników /,, wyznacza się ze wzoru:

D

Ic—-

/,w = n

0 </

X-Xj X-X_x

x—x.

X -X_j__l X- x_i + J

x,-xj x-x_l X_i-x_i_₁x_i-x_i+l x-x_n Interpolacja za pomocą wielomianów jest jednoznaczna, zatem wyniki otrzymane interpolacją Lagrange'a będą identyczne jak wyniki potrzymane interpolacją wielomianową z rozwiązaniem układu równan. PRZYKŁAD:

Załóżmy, że znamy 3 wartości funkcji:

X,	2	3	10
f(Xi)	0	2	1

Chcemy wyznaczyć wartość funkcji wpunkcie x = 5.

L(x) = YiU(x) ⁺ yM*) ⁺ YńM

L(x) = Yi((x-x₂)/(x₁-x₂)) *((x-x₃)/(x₁-x₃))

+ y₂((x-x₁)/(x2-x₁))*((x-x₃)/(x₂-x₃))

⁺ Y3((X-X₁)/(X₃-X₁))*((X-X2)/(X₃-X₂))

L(5) = 0*((5-3)/(2-3))*((5-10)/(2-10)) +

2*((5-2)/(3-2)) *((5-10)/(3-10))

+ 1*((5-2)/(10-2))*((5-3)/(10-3))

L(5) = 0*(2/-1)*(-5/-8) + 2*(3/1)*(-5/-7) + 1*(3/8)*(2Y7) L(5) = 0 + 4.2857 + 0.10714 L(5) = 4.39284