281 2

281

7.3. Interpolacja

(-) Obliczyć /(O) za pomocą ekstrapolacji iterowancj Richardsona, zakładając, źe f(x)*=c₀+c_lx+c₂x² + ...

3. Obliczyć

(a) f    <^b> I **$(*)    (w^l),

»=o    ^,=C

4. Wykazać, że

gdzie $i (^x) J^cst wielomianem określony w (7.3.18).

/(*i)

gdzie jest wielomianem określonym w (7.3.20).

Wskazówka. Porównać współczynniki przy x*” w wielomianie interpolacyjnym wyrażonym za pomocą wzorów Newtona i Lagrange’a.

3. Udowodnić, że

1 X0		T^m" . x0	-1	^coo	^cOl •	• Ct>m
1 X,	X?	Y^m■ ^X1	=	^CI0	*1! •	Cfm
1 X.	4. ■	• xZ		fmO	Cml •	• C*m

gdz:c £ Ci,x^,=ó_J(x) (wielomian określony w (7.3.18)).

1=0

6.    Wyznaczyć wielomian Q (x) czwartego stopnia taki, że

a(0)=Q'(o)=o,    Q(1)=<2'(1)=1,    G(2)=l.

7.    Sprawdzić wynik (x = 1.414) pierwszej części przykładu 7.3.5 (interpolacja odwrotna oparta na wzorce Bessela).

8.    (Algorytm interpolacyjny Aitkana). Niech będzie

•Pio=/C*f) 0=0. 1> ••• * n ; Xf*Xj dla i>j).

0=0, l,k=0,1,...»* — 1).

p    (^X ^Uc C* ^xi)^kk

*t-Xk

Zauważyć, że iiczby P_{j (i=0, ł...., n; j=0, 1, tworzą tablicy trójkątną i że P_tj wielomianem j-tego stopnia.

Wykazać, że p_m jest wielomianem interpolacyjnym n-tego stopnia dla punktów (x₀,

-'I**’fM)-

^V-'^: kazówka. Rozważając kolejne kolumny sprawdzić, że jeśli P_tJ (dla iz usta-jjj J?**^ interpoluje/na zbiorze {*,,x₀> x_lt..x,_,} dlay>ł i {x,} dłay=0. to _Ł % V * ^,m€rpolu-l^e/^na zbiorze (ac^aTo**i.    (a wobec tego P_{/+ ltJ}+, interpoluje/

y=-(j^0l0r2e _:t*/Rezultat wynika więc indukcyjnie z informacji dla