lastscan77

końcowej F przy zadań vch|

lub n

n = —

ln (1 + i)

ren

= 15.99876.

= 15,428.

In 1,021

i (5.6). Pokazują one związek między czterema ilościowymi charakterystykami renty: wysokością raty R. liczbą rat n, stopą procentową i. wartością początkową] P lub wartością końcową F, przy czym informacje o liczbie rat n i stopi© procentowej < zawarte są w sumach lub s^.

Wzory (5.4) i (5.5) oraz (5.6) i (5.7) stanowią podstawę do obliczenia jedi z wymienionych czterech wielkości przy ustalonych wartościach pozostały trzech. Możemy zatem wyróżnić cztery podstawowa zagadnienia rachunku zwykłej:

•    obliczenie w-artości początkowej P lub

R. n oraz i,    _#

•    obliczenie wysokości raty R przy zadanych n, i oraz P lub F,

•    obliczenie stopy procentowej i przy zadanych n_t R oraz P lub F,

•    obliczenie liczby rat n przy zadanych i, R oraz P lub F.

W przykładach 5.1. 5.2 i 5.6 zaprezentowane zostały pierwsze dwa zagadnień

rachunku rent, polegające na obliczeniu wartości końcowej, początkowej i wy sok oś raty dla ustalonych wartości i oraz n. W tym miejscu przyjrzymy się zagadnieniu obliczania liczby rat n i stopy procentowej i przy założeniu, że wysokość rat R ortu wartość początkowa P lub końcowa /-'renty są ustalone. Tym samym przyjmujemy! że ustalona jest wartość początkowa lub końcowa renty jednostkowej, a zatem ustalone są czynniki oprocentowania renty, ponieważ z wzorów (5.4) i (5.6 otrzymujemy

— = a_fl/ oraz — = j_nl,

Obliczenie zatetn liczby rat n lub wartości stopy procentow-ej i wymaga rozw iązani odpowiedniego równania z jedną zmienną.

5.3.1. Obliczenie liczby rat

Liczba rat n renty o ustalonych i, R oraz P lub F dana jest wzorem ln(l —iP/R)    In (1 +iF/R)

In (1 + i)

zależności od tego, czy dana jest wartość początkowa P renty⁴, czy jej wartość końcowa F.

Przykład 5.7

Pan Kowalski potrzebuje zgromadzić 18 tys. zł na rachunku oprocentowanym według stopy kwartalnej 1,55%, przy kapitalizacji kwartalnej. Cel ten zamierza zrealizować poprzez systematyczne wpłaty I tys. zł na koniec kolejnych kwartałów [le wpłat powinien dokonać, aby osiągnąć cel?

Zakładamy, ic I -iPIR > 0.

I W rozważanym przykładzie mamy do czynienia z rentą zwykłą, dla której dane « 1. F = 18./ = 1.55%. natomiast liczba rat //jest niewiadomą. Z wzoru (5.6) Jłymujcmy równanie 5^,55 = 18. którego jedynym rozwiązaniem jest (por. (5.19))

ln(l +iF/R) In 1,279 ln(l +0    “ ln 1.0155

jdnie taki sam wynik otrzymamy, korzystając z funkcji finansowej NPER za Excel (por. dodatek B). Uzyskany wynik liczbowy jest w tym przypadku .jznie bliski 16, abyśmy mogli przyjąć, iż pan Kowalski powinien dokonać •łat na rachunek. Zauważmy jednak, że ponieważ // = 16 jest wynikiem pienia rozwiązania, możemy się spodziewać, iż saldo rachunku tuż po miej wpłacie będzie się różniło od 18 tys. zł. Rzeczywiście, dla i = 1,55%, 16 otrzymujemy sren.35* = 18,00158, zatem przy wpłatach w wysokości

_ zł saldo rachunku tuż po ostatniej w płacie nieznacznie przekroczy - o 1,58 zł -

Krnaganą kwotę 18 tys. zł.

■

W W zagadnieniach ustalania liczby rat należy się liczyć z tym, że // dane Borem (5.19) nie jest liczbą całkowitą. Zaokrąglając uzyskany wynik w górę lub W dół do najbliższej liczby całkowitej, godzimy się tym samym na wprowadzenie Bidyfikacji do danych wejściowych zadania. Rodzaj i skala modyfikacji zależą od \ tiki rozważanego problemu. W przykładzie 5.7, jeśli wpłaty pana Kowalskiego zgromadzeniu odpowiedniej sumy na sfinansowanie jego urlopu, to - praw-,dobnie - najprościej będzie skorygować zadaną wartość końcową renty, _iększając ją o 1,58 zł. Jeśli natomiast wpłaty pana Kowalskiego służą spłacie |gu\ to najprościej byłoby zmniejszyć ostatnią, szesnastą, ratę o 1.58 zł. Postępowanie byłoby mniej oczywiste, gdyby stopa oprocentowania rachunku kładu 5.7 wynosiła 2,1%. Wówczas bowiem otrzymujemy

ln(l + iF/R) ln 1,378 ln(l +0

_^Jenie powyższego wyniku w dół lub w górę do liczby całkowitej spowoduje lnie różny - w porównaniu z założonym - stan rachunku w momencie ostatniej jości. Dla n - 15 saldo wyniesie 17 418.90 zł, natomiast dla n = 16 będzie równe 18 784.70 zł. Jeśli przyjmiemy, że korekta danych wejściowych może tyczyć jedynie ostatniej raty, to otrzymamy odpowiednio dwa warianty jej ikości, gdyż:

dla n = 15 wystarczy ostatnią - piętnastą - wpłatę powiększyć do kwoty 581.10 zł (= 1000 +(18000—17418,90)),

• natomiast dla n = 16 wystarczy ostatnią - szesnastą - wpłatę zredukować .I4. kwoty 215.30 zł ( = 1000 - 784,70).

¹ Zasygnalizowany tu schemat spłaty długu zwany jest spłata poprzez fundusz umorzeniowy (|Mir. rozdział 6).

163

162