lastscan88

w czasie (oparty na oprocentowaniu składanym) i zasada równoważności kapitałów odpowiadająca temu modelowi. Czytelnik zna te zagadnienia z rozdziałów 3 i 4; teraz będziemy się do nich niejednokrotnie odwoływać. Przy badaniu własności ciągu rat spłaty długu będziemy korzystać z charakterystyki renty prostej, przedstawionej w rozdziale 5, natomiast przy opisie metody obliczania rzeczywistej stopy kosztu spłaty długu konieczne będzie nawiązanie do rozdziału 7. w którym jest przedstawiona wewnętrzna stopa zwrotu z inwestycji.

Spłacie długu przy oprocentowaniu prostym poświęcamy mniej miejsca. W ogólnym przypadku jest ona niezgodna z zasadą równoważności kapitałów, w^r związku z czym współczesna matematyka finansowa rekcynenduje rozliczanie j zobowiązań z tytułu długu na podstawie teorii procentu składanego, a nie prostego. Metody oparte na oprocentowaniu prostym mają długoletnią tradycję i wciąż są stosowane w praktyce. Istotne jest jednak to, źe obliczanie od długu odsetek prostych może daw^rać nieuzasadnioną przewagę wierzycielowi lub dłużnikowi oraz prowadzić do wmiosków' niezgodnych ze zdrowym rozsądkiem, podczas gdy takie sytuacje nie mają miejsca przy naliczaniu odsetek składanych.

6.1. Zasada równoważności długu i rat

Przedmiotem rozważań jest dług (kredyt, pożyczka), który powstał w momencie 0 w efekcie przekazania przez inwestora, zwanego dalej wierzycielem, kapitału K o wartości K₀ innemu podmiotow i, zwanemu dalej dłużnikiem. Dłużnik spłaca

dług n ratami o wartości R, w równo oddalonych momentach j — 1.2.....n. Okres

oddzielający dowolne kolejne momenty j = 0,1, ...,n nazywamy, tak jak w przypadku renty, okresem bazowym.

Zakładamy, że spłacane raty Rj obejmują zw'rot pożyczonego kapitału wraz z naliczonymi odsetkami, natomiast nie obejmują innych kosztów, które dłużnik ponosi przed spłatą lub w trakcie spłaty długu, takich jak prowizja, opłaty manipulacyjne, ubezpieczenie spłaty długu itp.¹

W zwńązku z interpretacją rat /?, zauważmy, że gdy dłużnik przekazuje wierzycielowi ratę, to niezależnie od tego, jaką jej część stanowią naliczone odsetki, z chw ilą zapłacenia raty odsetki są już skapitalizowane. W związku z tym ciąg rat R, jest ciągiem kapitałów przepływających od dłużnika do wierzyciela

w- momentach j = 1,2.....n w celu umorzenia zobowiązania, które powstało w raz

z przepływem od wierzyciela do dłużnika kapitału K w momencie 0. Zakładamy przy tym, że

> 0 oraz R_} ^ 0 dla j = 1,2.....n.    (6.1)

Założenie nieujemnej wartości rat jest potrzebne dlatego, że chociaż w rzeczywis- ²

mają one wartość dodatnią, to odstępy czasu między kolejnymi ratami nie |ws/.e są jednakowe, zatem dla momentów, w których dłużnik nie płaci raty. tujemy R, = 0. Stopę okresu bazowego oznaczamy przez i oraz zakładamy, > 0. Dla dłużnika oznacza ona okresową stopę oprocentowania długu, dla r.yciela zaś (inwestora) - okresową stopę zwrotu z inwestycji, jaką jest jueicmie tego kredytu czy pożyczki².

Punktem wyjścia analizy ratalnej spłaty długu jest podana niżej zasada /ażności długu i rat. Bez trudu można zauważyć, że jest ona powtórzeniem ly równoważności kapitałów, znanej z rozdziału 4, a różnica polega jedynie na /adzeniu terminologii właściwej długom spłacanym w ratach.

Zasada równoważności długu i rat

)ług o wartości K₀ w momencie 0 jest równoważny ciągowi rat o wartości

W, płatnych w momentach j = 1,2.....n. jeśli kapitały wzajemnie sobie

przekazane przez wierzyciela i dłużnika są równoważne.

Z powyższej zasady wynika, że aby sprawdzić równoważność długu i rat, rczy przyrównać do siebie wartość długu zaktualizowaną na dowolny moment :zną wartością rat zaktualizowanych na ten moment. Używając do tego celu ;lu wartości kapitału w czasie, aktualizujemy wartość długu i rat na moment K w wyniku czego otrzymujemy warunek równoważności w postaci

£*,(1 + 0

-i

(6.2)

i-'

Warunek (6.2) oznacza, że dług jest rów now ażny ratom, jeśli łączna wartość [rat zaktualizowanych na moment 0 jest równa kwocie długu z tego momentu, fiyaninck (6.3) zaś - jeśli wartość początkowego długu zaktualizowana na moment jego umorzenia i łączna wartość rat zaktualizowanych na ten moment są takie same. Warunek równoważności długu i rat jest wykorzystywany w analizie spłaty gu do różnych celów i - co wyniknie z dalszej części tego rozdziału - ma zo duże znaczenie zarówno dla praktyki, jak i dla rozważań teoretycznych. IW punkcie 6.2 użyjemy go do budowy schematu spłaty długu, a w punktach _\(). 3-6.7 do wyznaczenia rat postulowanego typu. W punkcie 6.9 przedstawimy jego £ Inioną postać (po uchyleniu założeń o jednorazowej wypłacie kwoty

Dalsze wyjawienia związane z interpretacją stopy i jako stopy zwrotu Czytelnik znajdzie w kolkowym punkcie MgO rozdziału oraz w rozdziale 7.

*₀(l+/r

X /?,(i+/)"■'.

i-1

(6.3)

185

1

ki dalszych rozważań potrzebny będzie jeszcze warunek rów now ażności długu I rat przy aktualizacji na moment n_% czyli

2

W punkcie 6.9 uchylimy założenie o braku innych - poza odsetkami - kosztów obsługi długu, podobnie jak /ałożente o przekazaniu dłużnikowi kapitału K w formie jednej płatności.