lastscan58

Rysunek 4.2. Model wartości kapitału w czasie przy stopie oprocentowania rocznego r przy czym ponieważ

A'(r,) = K(/₀)(l+#•/'-*,    (4.3)

to

KU) = AT^Hl + ry-^d +ry-'¹ = *(/„)( 1 +

Jeśli zatem zachodzi równość (4.3), to model wartości kapitału K w czasie nie zmieni się, gdy wartość KUo) zastąpimy wartością tego kapitału zaktualizowaną na dowolny inny moment \

Przykład 4.2

W momencie 2 wartość kapitału K wynosi 1000 zł. Model (4.1) wartości w czasie tego kapitału przy stopie r = 25% jest dany funkcją

KU) = 1000 1,25'”², te R.

Równanie lej funkcji możemy zapisać w innej postaci, np.

KU) = 1250- I.25'^-3 lub KU) = 512- 1,25'*', ponieważ, odpowiednio.

KU) = 1000- l,25*“^a = 1000-1.25'^-3• 1,25 = 1250 - l,25'-\

KU) = 1000-1.25'-² = 1000-1,25'*' • l.25“³ = 512- 1.25'^+l.

W rozważanym kontekście ten wniosek może się wydawać trywialny. Warto go jednak zapamiętać, ponieważ badając w punkcie 4.3 analogiczną funkcję K(t) wyprowadzoną zgodnie z zasadą oprocentowania prostego, stwierdzimy, że nie ma ona takiej własności.

Piciwszc z tych równań odpowiada znanej wartości tego kapitału Af(3)    1250.

N drugie K(- I) *= 512. Oczywiście, w każdym / powyższych przypadków funkcja Kit) przyjmuje tę sama wartość dla dowolnego momentu t e K. Zapiszmy jeszcze jej Mwnanie w postaci najprostszej i najwygodniejszej dla obliczeń, mianowicie

K{t) = 640- 1.25',

która odpowiada znanej wartości kapitału K(0) = 640.

Rysunek 4.3. Wartość kapitału w czasie w przykładzie 4.2

Funkcja K(t) jest przedstawiona na rysunku 4.3. Zinterpretujemy za jego pomocy aktualizację wartości kapitału K. Zaczynamy od tego. że znana jest Wartość tego kapitału K{2) = 1 (XX). która na wykresie odpowiada punktowi A w celu aktualizacji w artości K(2) na moment 3 startujemy z punktu A i przesuwamy &C po krzywej w górę do punktu B. w którym K(3) = 1250. W celu aktualizacji wartości K(2) na moment - 1 ponownie startujemy z punktu A. przesuwając się |x* lej krzywej w dół do punktu C, dla którego K(— 1) = 512. Tc dwie wędrówki po krzywej ilustrują obliczanie według modelu (4.1) wartości kapitału K w momencie 3 oraz t_c = — 1 na podstawie jego w artości z momentu t_A - 2:

K(t_B) = K{t_A)- 1,25'*-'* = 1000- 1.25 = 1250.

K(t_c) = K(!_A)-1,25*-* = 1000 - 1.25"³ = 512.

Jak widać, przejście po krzywej od punktu A w górę do punktu B jest graficzną interpretacją rocznego oprocentowania wartości K(2), przejście zaś od punktu \ w dół do punktu C - trzyletniego zdyskontowania tej wartości.

Wędrując po krzywej, nic musimy wybierać najkrótszej drogi łączącej interesujące nas punkty. Na przykład, startując z punktu A. możemy najpierw pójść

125