mech2 177

352

Określimy silę uogólnioną, pisząc pracę przygotowaną sił działających na u-kład. Zauważymy, że w stanie równowagi siła w sprężynie wynosi rg;gdy ciężar A, a z nim koniec sprężyny przesuniemy o y od położenia równowagi, wówczas napięcie sprężyny wzrośnie o ky

6 A = mg 6y - (ky + mg) 6y,

stąd

% =l7 = -^kJ-

Wracając do równania Lagrange'a otrzymamy

(M + m) y = -ky,

(M + m) y + ky = 0.

Jest to równanie wahadła matematycznego o długości

. M + m i = e-j- •

Okres drgaii ciężaru wynosi więc

Zadanie 3 (rys. 264)    ,

Na jednorodny walec o ciężarze Q i promieniu r nawinięto sznur. Walec leży na poziomej, chropowatej płaszczyźnie i może się po niej toczyć bez., śligania. Pozostałą swobodną poziomą część sznura przerzucono przez nieważr ki krążek i obciążono ciężarem Q„. Znaleźć przyspieszenie tego ciężaru.

4Q₂

Odp. ^a * fi + qq₂ •

\

Rys. 264

Rys. 265

Zadanie 4

Pręt OC o długości 1 i ciężarze P może obracać aię bez tarcia wokół ■ nieruchomego punktu 0. Koniec C tego pręta połączono przegubowo ze środkiem j innego pręta AB = 21 o ciężarze 2?. Końce A i B pręta AB przymocowano j' przegubowo do dwóch wodzików mogących aię przeBuwać bez tarcia po dwóch ! prostych wzajemnie prostopadłych w punkcie 0. Każdy z wodzików ma ciężar Q.

- Osie prętów leżą v płaszczyźnie poziome j. Na pręt OC działa moment M. Obll-1 czyć przyspieszenie kątowe e tego pręta.

Rozwiązanie (jryb. 265}

s

Układ ma 1 stopień swobody, i    Skorzystamy z równania Lagrange'a w postaci:

J5. _Q .

Ocp *9

1

JL (b*\ _ dt \a<pJ

Obliczamy energię kinetyczną układu

E « -5- I- q>^Ł +

2 I

2 II

* ⁺ 2 “li ^TII ⁺ 2 “lii

x +

2 “lV ^y »

! przy czym

j

't -    i!-¹ ii!

^TI ° ^mI 5 ⁼ g 3 *

2

t _    *11 2P (22?    Z PI²

^XII ⁼ “li 12 “ g 12    3 _g

2P

“II " g '

'II

= 1 9

Ponadto wykorzystamy równania więzów

x = 21cos<p —*-x = -21<P sin 9 , y = 21sinq>—>-y = 21<pcos q> •

Po podstawieniach wyrażenie, określające energię kinetyczną w funkcji wybranej współrzędnej uogólnlohej 9 , ma postać:    — ,

E = l² y² + 2 l² 9 ² = l² 9 ² pP + 4q) •

Siła uogólniona jest równa przyłożonemu momentowi

Q_ = M.

9

Równanie Lagrange'a przyjmie postać

A. ²

dt

= M.

»