Obraz1 3

64

Obie powyższe miary spełniają następujące warunki:

cp² + i?² = 1,    (2.9)

0<(p²<l,    (2.10)

0<i?²<l.    (2.11)

W związku z powyższym (warunki (2.9)—(2.11)) wystarczy jedną z tych dwóch miar obliczyć za pomocą wzoru definicyjnego, a druga jest jej uzupełnieniem do jedynki.

Zwykle też interpretację współczynników cp² i R² podaje się łącznie. Współczynnik determinacji R² podaje, jaka część całkowitej zmienności cechy Y (mierzonej wariancją) jest wyjaśniona przez jej liniowy związek z cechą X (opisywany dopasowaną funkcją regresji). Współczynnik zbieżności (p² informuje,

jaka część wariancji cechy Y jest skutkiem działania innych czynników, nie-uwzględnionych w funkcji regresji. Łatwo zrozumieć, że tym lepsze jest dopasowanie funkcji regresji do danych liczbowych, im większa jest wartość R²,

a tym samym im mniejsza jest wartość (p².

Warto w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, że w przypadku rozważanej liniowej funkcji regresji:

■'?    -    R²=r².    (2.12)

Tę równość wykorzystuje się przy interpretacji współczynnika korelacji.

Wykorzystując dane z przykładu 2.1 dopasować funkcję regresji liniowej o postaci:, y₍ = a₀. +    , stosując metodę najmniejszych kwadratów.

W tabeli 2.2 podano obliczenia potrzebne do rozwiązania układu równań normalnych.

Tabela 2.2

Obliczenia pomocnicze do metody najmniejszych kwadratów

Lp.	Xi	y;	*, • yt		9i	3>i ~ 9i	(y,-y)^2
1	2	260	520	4	258	2	4
2	3	250	750	9	251	-1	1
3	4	230	920	16	244	-14	196
4	5	250	1250	25	237	13	169
5	5	240	1200	25	237	3	9

65

cd. tabeli 2.2

Lp.	X\	yt	^xi ■ yi		9i	yi ~ 9t	(y, - y)^2
6	6	230	1380	36	230	0	0
7	7	220	1540	49	223	-3	9
8	9	200	1800	81	209	-9	81
9	9	220	1980	81	209	11	121
10	10	200	2000	100	202	-2	4
Suma	60	2300	13340	426	2300	0	594

Źródło: obliczenia własne.

Wstawiając wyniki obliczeń z tabeli 2.2 do układu równań normalnych (2.3) otrzymuje się:

j2300 = 10a₀ +60aj [13340 = 60a₀ + 426a,

Mnożymy pierwsze równanie przez-6, otrzymując:

J-13800 = —60a₀ - 360aj jl3340 = 60ćz₀ +426a,

stąd

— 460 = 66aj,

460

a, =--= -6,9697 = -7,0.

¹ 66

Wstawiamy a_x = -7,0 do pierwszego równania, otrzymując:

2300 = 10/3₀ - 60(—7,0),

2300 = 10a₀ - 420,

10a₀ =2720, a₀ = 272.

Zgodnie z powyższymi obliczeniami funkcja regresji opisująca zależność Y od X ma postać:

y, =272-7,0*,..

Współczynnik regresji a_x =-7,0 oznacza, że wydajność spada średnio o 7 szt./godz. przy wzroście czasu pracy o 1 godzinę. Należy zwrócić uwagę na fakt, że istnieje zgodność znaków r i a_x.