Obraz7 2

76

Opisywana zależność korelacyjna jest mocna i dodatnia. Warto w tym miejscu porównać dwa następujące współczynniki korelacji; r₁₃ = 0,8 oraz r^.₂ = 0,76. Ponieważ różnica miedzy nimi jest niewielka, można sądzić, że wpływ cechy eliminowanej (wiek) jest nieznaczny.

c) Analizując relację w zbiorze badanych cech można również ocenić łączny wpływ dwóch z nich na jedną. W omawianym przypadku sensowne jest postawienie pytania: jak staż pracy i wiek robotników wpływają łącznie na wydajność ich pracy? Na powyższe pytanie można odpowiedzieć, wykorzystując współczynnik korelacji wielorakiej;

(wyznacznik macierzy R wynosi 0,27).

Łączny wpływ stażu i wieku robotników na ich wydajność jest mocny. Należy w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, że współczynnik korelacji wielorakiej dostarcza informacji jedynie o natężeniu zależności, a nie informuje o kierunku zależności. Obliczony współczynnik determinacji R² ~ 0,67 wskazuje, że 67% zmienności wydajności mierzonej wariancją wynika ze zmienności stażu pracy i wieku badanych robotników.

2.2.4. Liniowa funkcja regresji wielorakiej

Przyjmując/że cecha X\ odgrywa rolę zmiennej objaśnianej, można przedstawić interesującą nas funkcję regresji w postaci:

(2.30)

Funkcję zmiennych objaśniających pełnią cechy X₂ i X₃ (i = 1, 2,..., n), (n - liczba jednostek statystycznych charakteryzowanych trzema cechami). W niniejszym zapisie przyjęto, że subskrypty parametrów odpowiadają numerom cech.

Parametry funkcji regresji danej wzorem (2.30) dopasowujemy do danych empirycznych przedstawionych w macierzy (2.21), stosując klasyczną metodę najmniejszych kwadratów, dla której funkcja kryterium ma postać:

n

/(a₀,a₂,a₃) = j)(•*.■! ~*n)²

(2.31)

lub

n

f(a₀,ci₂,a₃) = Y_J(^xl

2^Xi2 ^a3^Xi3) •

(2.32)

W charakterze wartości parametrów funkcji regresji (2.30) wybieramy takie wartości, dla których funkcja kryterium osiąga minimum. W tym celu obliczamy pochodne cząstkowe względem o₀, a₂ oraz a₃, przyrównujemy je do zera i po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy następujący układ równań normalnych:

Z = na₀ + a₂ Z *_/2 + a₃ Z x_a

1=1    f=l    1=1

n    n    n    n

(2.33)

Z ^Xil^Xli ⁼    Z *«2    +    Z ^Xn    ^{+ a}3 Z */2*;3

1=1    i=l    i=l    1=1

n    n    n    n

Z*<l*ł3 ^=aoZ-^X-3 ^+fl2Z^Xr2^3 + ^fl3 Z 4

i=l

u=l

Rozwiązując powyższy układ równań (jeśli istnieje jego jednoznaczne rozwiązanie), otrzymuje się wartości- a₀, a₂, a₃. Dla interpretacji zależności w zbiorze trzech cech najważniejsze są parametry a₂ i a₃, określane mianem współczynników regresji cząstkowej. Współczynnik a₂ informuje, o ile średnio zmieni się (wzrośnie lub zmaleje) wartość cechy X_x, gdy cecha X₂ wzrośnie o jednostkę, jeśli cecha X₃ nie ulegnie zmianie. Współczynnik a₃ podaje, o ile jednostek zmieni się średnio cecha X_}, gdy cecha X₃ wzrośnie o jednostkę, przy założeniu, że wartość cechy X₂ pozostanie na stałym poziomie. Należy w tym miejscu zwrócić uwagę na zgodność znaków odpowiednich miar zależności cząstkowej: a₂ oraz ri₂.₃ - obie te miary służą do opisu zależności cech X\ i x₂, przy eliminacji wpływu cechy x₃ (a₂ i r₁₂.₃ - mają ten sam znak). To samo spostrzeżenie dotyczy współczynników a₃ oraz n₃.₂.

Warto w tym miejscu zaprezentować inną metodę uzyskiwania wartości parametrów funkcji regresji (2.30). Punktem wyjścia w tym podejściu jest macierz kowariancji S o postaci (2.22). Wzory do obliczenia współczynników regresji cząstkowej są następujące:

gdzie S\₂, 5i₃, Sn są dopełnieniami algebraicznymi odpowiednich elementów macierzy kowariancji S.

Wyraz wolny obliczamy wykorzystując wzór:

a₀=x_x- a₂x₂ - a-_ix₃. (2.35)