Obraz0 3

102

tów szeregu czasowego związanej z odcinkiem czasu o ustalonej długości. Uśrednianie prowadzimy przesuwając wspomniany odcinek wzdłuż osi czasu. Z tego też względu tak obliczoną średnią przyjęto nazywać średnią ruchomą.

Stosując średnią ruchomą do wygładzania szeregu czasowego należy ustalić:

1)    ile wartości szeregu czasowego przyjąć za podstawę do obliczania średniej,

2)    jakiemu punktowi na osi czasu przypisać obliczoną wartość średnią.

Jeśli ustalono, z ilu elementów szeregu czasowego będzie obliczana średnia ruchoma, to teraz należy ustalić punkt na osi czasu, któremu będziemy przypisywać tę wartość. Nie ma ogólnej zasady, która pozwalałaby w sposób jednoznaczny określić to przypisanie. Wydaje się, że wynikać to winno z potrzeb prowadzonej analizy. W naszym przypadku omówimy trzy przypadki.

W pierwszym przypadku przyjmiemy, że średnią wartość przypisywać będziemy środkowemu punktowi odcinka czasu przyjętego za podstawę obliczania średniej ruchomej. To postępowanie wymaga rozróżnienia dwóch sytuacji, gdy podstawą obliczania średniej ruchomej jest nieparzysta liczba elementów oraz parzysta liczba elementów.

Przyjmijmy, że podstawą rozważań jest następujący szereg czasowy:

(3.38)

JWa.....y„-

Wartości naszego szeregu czasowego przypisujemy n punktom na osi czasu. Następnie obliczamy średnią ruchomą trójelementową i jej wartości przypisujemy środkowemu punktowi odcinka czasu, obejmującego trzy wartości szeregu czasowego. Postępiyąc w ten sposób otrzymujemy następujący szereg czasowy:

(3.39)

gdzie:

¹ y,= - • (y,~ 1 + y, + y_M); t = 2,3,1.    (3.40)

Szereg czasowy (3.39) jest wygładzonym szeregiem czasowym (3.38). Jego wartości traktujemy jako odzwierciedlenie tendencji rozwojowej. Do oceny dobroci wygładzania szeregu czasowego przyjmiemy dwa mierniki, a mianowicie:

- średni błąd wygładzania:

. 1

(3.41)

(3.42)

^B=—rE(y, -y,\

n~ 2 ,₌₂

- średni absolutny błąd wygładzania (dopasowania):

”~2_/=2

Rozważmy z kolei przypadek, gdy liczba elementów będących pod:,i,i » • i* liczania średniej ruchomej jest parzysta. Dla jasności wywodów m ■ • przypadek, w którym obliczać będziemy średnią ruchomą czteroelnnmi* *i, W tej sytuacji nie można w sposób bezpośredni przypisać obliczonci n .i... . środkowemu punktowi na odcinku czasu obejmującego cztery wartości ■ • <    ••

czasowego. Wykorzystuje się w tym przypadku procedurę dwuetapowy 11 efektem jest średnia ruchoma scentrowana, obliczana według wzoru:

1

y,_₂ +    + y, + y_/+1 +--y_/+2

dla t - 3, 4,n - 2. i ' '

W wyniku uśredniania otrzymujemy następujący szereg czasowy, będą kiem wygładzania wyjściowego szeregu czasowego:

ys’y4—*y_n-2-

Do oceny dobroci dopasowania wykorzystujemy odpowiednio zmodyhl • mierniki (3.41) oraz (3.42).

W drugim przypadku przyjmiemy, że wartość średniej ruchomej przypi "i -punktowi końcowemu odcinka czasu obejmującego wartości szeregu c.mm' będącego podstawą obliczania średniej ruchomej. W tym wypadku nic jc.M m >

czy średnią ruchomą obliczamy z parzystej czy też nieparzystej liczby den.....

Przyjmijmy, że obliczamy średnią ruchomą trójelementową. W tym pi i ¹ otrzymujemy następujący szereg czasowy średnich ruchomych:

gdzie:

y, = t • (y,-2⁺ y,-i ⁺y_th    ^t=3> ⁿ-

Dobroć wygładzania oceniamy wykorzystując odpowiednio zmodyfikow.m. ry (3.41) oraz (3.42).

Średnią ruchomą można wykorzystać tak do wygładzania szeregu ■ . r> • go, jak i do wygładzania i prognozowania. W tym wypadku obliczomi i> ¹ ■ przypisujemy punktowi na osi czasu, który nie należy do odcinka czasu ul-, im i jącego wartości szeregu czasowego wykorzystane do obliczania średni. i i • czytelności rozważań przyjmiemy za podstawę średnią ruchomą trójelrm. m .* i W wyniku tego postępowania otrzymujemy szereg czasowy wartości <■ traktowanych jako prognozy o postaci:

3^4 ’ y₅ * ■■■’ y n * 3Vh, i » i 'i