Obraz2 4

126

miast w wypadku wylosowania kuli czerwonej przegrywa się 1 zł. Przyjmijmy, że wartościami zmiennej losowej skokowej X są wysokości wygranej: W_x = = {-1,1,3}.

Ustalając rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej losowej X, bierzemy pod uwagę liczbę kul w danym kolorze przypadającą na 100 wszystkich kul. Zatem:

P(X = -1) = 60/100 = 0,6, P(X = 1) = 30/100 = 0,3 oraz P(X = 3) = 10/100 = 0,1.

Jak widać P(X = -1) + P(X = 1) + P(X = 3) = 0,6 + 0,3 + 0,1 = 1.

Funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej możemy przedstawić tabelarycznie:

	-1	1	3
Pi	0,6	0,3	0,1

Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej F(x) = (P(X <x)= ^ p_r

X<Xj

Dla rozpatrywanego przykładu mamy:

X		(-1. 1>	(1,3)	(3, °°)
F(x)	0,0	0,6	0,9	1,0

Na przykład F(2,5) = P(X < 2,5) = P(X = -1) + P(X = 1) = 0,6 + 0,3 = 0,9 lub F(4,9) = P(X\< 4,9) = P(X = -1) + P(X = 1) + P(X = 3) = 0,6 + 0,3 + 0,1 = 1,0.

Wartość oczekiwana E(X) zmiennej losowej X obliczana jest zgodnie z wzorem (4.10) w następujący sposób: E(X) = -l • 0,6 + 1 • 0,3 + 3 • 0,1 =0. Z tego wynika, że dany gracz może przewidywać, iż gra zakończy się wynikiem „zerowym”. Odchylenie standardowe D(X) zmiennej losowej skokowej X obliczamy stosując wzór (4.15). Obliczenia pomocnicze zawiera tabela 4.1.

Tabela 4.1

Obliczenia pomocnicze

Xi	Pi	*iPi	x,-EQ0	(x,~E(X))^2	(Xi-E(X))^2Pi	xf	^xi Pi
-1	0,6	-0,6	-1	1	0,6	1	0,6
1	0,3	0,3	1	1	0,3	1	0,3
3	0,1	0,3	3	9	0,9	9	0,9
Suma	1,0	0,0	X	X	1,8	X	1,8

D\X) =    -E(X))²p, =1,8; m₂ = Yxfp, =1,8,

1=1 1=1

zatem D²(X) = m₂ -m² = 1,8-0 = 1,8 .

Zwróćmy w dalszej kolejności uwagę na niektóre własności wartości oczekiwanej E(X) oraz wariancji D²{X). Na przykład czemu równa się E(c + X) oraz D²(c + X), jeżeli c = 5. Z własności nadziei matematycznej i wariancji wynika, że:

E(c + X) = c + E(X) = 5 + 0 = 5,0,

D\c + X) = D\X) = 1,8.

Przykładowe wielkości zawiera tabela 4.2.

Tabela 4.2

Obliczenia pomocnicze

*, + 5	Pi	C*i + 5 )pj	Xi +5- E(X)	U;+ 5 -E(X))^2	(xl + 5-EiX))^2Pi
4	0,6	2,4	-1	1	0,6
6	0,3	1,8	1	1	0,3
8	0,1	0,8	3	9	0,9
Suma	1,0	5,0	X	X	1,8

Źródło: opracowanie własne.

Sprawdźmy ponadto, że E(cX) = c E(X) oraz D²(cX) = c²D²(X) dla c = 5.

E(5X) = 5 E(X) = 0 oraz D²(5X) = c²D²(X) = 25-i,S = A5. Obliczenia pomocnicze zamieszczono w tabeli 4.3.

Tabela 4.3

Obliczenia pomocnicze

5x,-	Pi	5 X;Pi	5 Xi-E(X)	(5 Xi-E(X))^2	(5 Xi-E{X)fPi
-5	0,6	-3,0	-5	25	15,0
5	0,3	1,5	5	25	7,5
15	0,1	1,5	15	225	22,5
Suma	1,0	0,0	X	X	45,0

Źródło: opracowanie własne.