Obraz3 4

168

s_g = ^ = 278,92 zł.

Uzyskany przedział <211,01; 278,92) pokrywa nieznane odchylenie standardowe mierzące poziom zróżnicowania gospodarstw domowych danego regionu pod względem miesięcznych wydatków na żywność.

W odniesieniu do innego regionu Polski dla próby losowej 100 gospodarstw domowych średnie wydatki na żywność i odchylenie standardowe przyjęły wartości: .

x = 724,34 zł, j = 245,26 zł.

Przyjmując współczynnik ufności 0,95 obliczono realizację dolnej i gómej granicy przedziału ufności dla wariancji, otrzymując:

s] =46399,62,

5^=81027,58.

W tym przypadku przedział ufności dla wariancji ma postać <46399,62; 81027,58).

Porównując uzyskane realizacje przedziału ufności dla wariancji wydatków na żywność w obu regionach zauważamy, że uzyskane przedziały nie są rozłączne. Można więc z dużym poziomem ufności twierdzić, że poziom zróżnicowania gospodarstw domowych w obu regionach pod względem wydatków na żywność jest podóbny.

5.4. Przedział ufności dla wskaźnika struktury

W wielu przypadkach występują sytuacje, w których interesuje nas zbiorowość statystyczna zawierająca dwa rodzaje jednostek, a mianowicie frakcję p jednostek, charakteryzujących się interesującą nas własnością, oraz frakcję q = {\-p) jednostek, które nie posiadają interesującej nas własności. Powyższe frakcje są wskaźnikami struktury, więc spełniona jest równość p + q = 1. Do opisu struktury tej zbiorowości wykorzystuje się rozkład zerojedynkowy.

Powstaje z kolei pytanie, jaki estymator wybrać, dla wskaźnika struktury p. Podstawą budowy estymatora jest model próby losowej prostej, czyli zmienna losowa n-wymiarowa (X_u X₂, X_n). Składowymi tej zmiennej losowej są niezależne zmienne losowe przyjmujące wartość zero (dla jednostki nie posiadającej interesującej nas własności) oraz wartość jeden (gdy jednostka posiada interesującą nas własność).

W charakterze estymatora wskaźnika (frakcji) struktury przyjmujemy średnią arytmetyczną z próby, którą zdefiniujemy następująco:

(5.40)

gdzie:

n - liczebność próby,

/- liczba elementów w próbie posiadających interesującą nas własność.

Zmienna losowa W jest zmienną losową podlegająca rozkładowi dwumianowemu. W wypadku małego n budując przedział ufności dla parametru p, wykorzystuje się rozkład dwumianowy. W praktyce zwykle operuje się próbą bardzo liczną (np. w badaniach opinii publicznej próba liczy zwykle kilkaset elementów). W tym wypadku wykorzystuje się, że rozkład dwumianowy przy n dążącym do nieskończoności dąży do rozkładu normalnego. Oznacza to, że zmienna losowa definiowana za pomocą wzoru:

U' =

W-p

f

— ~p

n

1 £ 1	/	( A
n	n	l nj
V		n

(5.41)

dąży wraz ze wzrostem n do zmiennej losowej U o rozkładzie normalnym N(0, 1). Naszym zadaniem jest zbudowanie przedziału ufności dla wskaźnika struktury (frakcji) p, przyjmując współczynnik ufności równy (1-a). W tym celu wykorzystujemy relację:

P(-u_a <U <u_a)~l - a.

Wykorzystując to, że zmienna losowa U' wraz ze wzrostem n dąży do zmiennej losowej U o rozkładzie jV(0, 1), więc dla dużego n nierówność spod znaku prawdopodobieństwa zapiszemy w postaci:

-u_n <

/

— P

<U„.

(5.42)

Rozwiązując powyższą nierówność względem p otrzymujemy następujące wyrażenie: