Photo011(2)

\

/(0;7)=pH⁰)=/^,(>^;U.Po.Pi.ct) = —exp —yTU-Po-Pi*,)

a    2a ^

Rozkład a priori

Załóżmy, że wykorzystamy prosty rozkład prawdopodobieństwa, postaci:

p(⁰) = p(Po. P i - o) = p(Po )/?(P i )p

'1

ker przy czym

1

p(po)°cc,, /?{p,) oc C₂ , P{°) cc — oraz c,, c₂ oznaczają stałe.

CT

Rozkład a posteriori

Na mocy twierdzenia Bayesa możemy wyznaczyć łączny rozkład a posteriori, postaci:

p(01 y ) = p(p₀, p|, a | x, y) oc 1 •-L_exp

a a

^r \ ^N

-rrSO'/- Po-Pi*/)^:

/—i

A

gdzie:

-oo<p_o,p, < oo ; 0<a<oo.

N

Wyrażenie ^(y_t -p_o -p,*,)² możemy zapisać jako:

/=i

N

-Po -P,*,)^! - Z[(v, -Po -p,*,)-(>.-P.)-(p, -P.K? •

i=l    /*!

gdzie:

Zfa - *)U - y)

P₀=y-Pi^; Pi ⁼-^^L-j7

są estymatorami parametrów p_o i Pi

i=\

uzyskanymi klasyczną metodą najmniejszych kwadratów.

N    S

Ponadto x = N~'    i nieobciążony estymator wariancji

/=!

/=!

resztowej ma postać:

S' A^-2 _/=i

_ta:_{ąc z} powyższych oznaczeń oraz całkując względem er otrzymujemy J^^ymiarową gęstość a posteriori, postaci:

OC

(Af-2^ ^Wipo-Po)¹ + (p,-pj£*,^!

1 = 1

+ 2(p_o -p₀)(Pl “ Pl )/V. ^Xi

1=1

która jest dwu-wymiarowym rozkładem t-Studenta. Szukanym rozkładem a posteriori jest brzegowy rozkład dla każdego z parametrów. Z powyższego wynika, że rozkład każdego z parametrów jest jedno-wymiarowym rozkładem t-Studenta, postaci:

V    1/:

fi*?

/=!

oraz

P₂~P:

\

» /=!

-J /

A

©Wyższe wzory są konsekwencją tego, żc zmienna losowa / = ma rozkład

todenta o N-2 stopniach swobody, przy czym S(p)oznacza standardowy błąd eny parametru p. Odpowiednie błędy standardowe wynoszą:

L /=!

%) =

65