Picture8

i n

w jednym kierunku (por. podrozdz. 1.1). Można także pokazać to na przykładzie (l/it, podać kontr przykład na zawieranie w drugą stronę).

Niech A, {.v i R: x ś /'}, //,    {.v e R: x > i).

P) zł, = {.v e R: x <, /} = (-«>, I),

/«N

n«,=.0.

/i N

/atom: P| zł, u P) B = p| A = (-«>, 1),

tcN /eN ieN

A,VB, = R=> p|(zł_fu£,)=R,

/eN

a więc: K <£ (-00, 1),

czyli: p(zł, u5, )<Z[p)/ł, upjfl,].

ie/    <6/    ie/

Zadania

13.    Niech /= {1,2,3} oraz: zł, = {a, b, c, <r/>, A₂ = {c, d, e,J}, zł₃ = {a,c,fg}.

Znaleźć (Jzł, oraz m-

<€/ 16/

14.    Niech/= {a, (3, y} oraz: A_a = {1,2,3, ...},^p= {-1,-2,-3, ...},zl_y= {0}.

Znaleźć (J A_l i Q zł, .

(6/ 16/

15.    Wyznaczyć uogólnione sumy i iloczyny zbiorów:

a)	At =	(2--	3 + t)	i g	N,
		1	/
b)	A,=	<1~T.	1 + ^1)	i e	N,
		/	1
c)	A,=	<3+-,	4-->	i g	N,
		1	1
d)	A,=	{.v g R:	x = sin /',	/ G	R},

e) rodzina kół K(A. r) o środku //(O, y) |A(v, 0)| i promieniu /    0

U K(A,r),    p|A(/l./-).

r«R,    /eR,

(J A'(/f,r),    P)A(/1, r).

yeR    yeR

j.ve.R|

16. Wykazać własności 1°-I2°. W przypadku zawierania wjednj) strony po dać odpowiedni kontrprzyklad.

1.4. Iloczyn kartezjański

A x B = {(a, b)\ a e A a b e B}.

Własności iloczynu kartezjańskiego:

1⁰ A x (B u C) = (A x B) u (A x C), (B <u C) x A = (B x A) u (C x A),

2° Ax(BnC) = (AxB)n(AxC), (B n C) x A = (B x A) n (C x A),

3° Ax(B\Q = (Ax B)\(AxQ, (B\Q x A = (B x A)\(C x A),

4° AxB = BxAoA = B,

5° (Xx Y)\(AxB) = [(X\A)x Y] u [Xx (Y\B)],

6° AaXAB^Y=>AxB = (AxY)n(XxB).

Przykład 1.10

Utworzyć A x B, jeśli A = {a, b}, B = {1,2, 3}.

A x B = {(«, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.

Przykład 1.11

Znaleźć A x Z?, jeśli: A = (-1, 1), B = N.

Zbiór A x B w tym przypadku, to zbiór punktów na płaszczyźnie, takicli których pierwsza współrzędna jest liczbą rzeczywistą z przedziału (-1, 1), druga zaś liczbą naturalną. Zaznaczymy ten zbiór na płaszczyźnie (por. rys. 1).