Picture
6

I )nnc si| relacje: Sc N x N, Tc NxN, /*< N x N, przy czym:

S {(1.2), (1.3). (1,5)}.

/    {(2. 7). (2. 8). (3,9)},

/*    {(7, I), (8, I), (5,2)}.

Wyznaczyć (o ile istniej;)) relacje: T°S, S°T, S \ T ', (T°S) \ (S°T)"', /' ' - S '. S ' • T T° P, P o T, S°P, P ° S, P (S°P)    (P ° S) ', (P o T) \

(/•/*)\T ' "P P '°S',P ¹ ° T \S '°P~'.

4.    W iloczynie kartezjańskim R x R dane są relacje:

S^m \(x,y):y=lx + 3},

T * {(jc.y):^^^},

P {(x,y).y<,-x*-2),

//- {(jr,y):y^ log,*},

W {(*,y): |5jc + 2yj = 10},

R = {(*,y):(* + 3)²+y²S 1}.

Wyznaczyć (o ile istnieją) relacje odwrotne do danych oraz możliwe złożenia podanych relacji.

5.    Dla relacji Scz X x Y wykazać, że:

a) S lewostronnie jednoznaczna <=> S ¹ prawostronnie jednoznaczna, h) S niepusta o S~' suriektywna,

c)    S suriektywna o S~' niepusta,

d)    S równoważnościowa o S ¹ równoważnościowa.

(). Dla relacji TcXx Y i Sc Yx Z, takich że Q_r n D_s * 0, wykazać że:

a) T i S prawostronnie jednoznaczna => S ° T prawostronnie jednoznaczna, h) T i S niepusta => S ° T niepusta, c) /'i S suriektywna => S° T suriektywna.

7.    Dla relacji z zadania 1 wyznaczyć S(d|), S(A₂), S '(7?i) i S~\B₂) dla zbiorów:

Ai = { 2,3},    A₂={ 1,3,4},

B\ = {a, b}, B₂ = {a,c}.

8.    Dla relacji z zadania 2 wyznaczyć S(A,) i S '(B,)(i = 1, 2, 3) dla zbiorów: A, = {x: \x\ < I},

M= {x: \x- 1|> 1},

A₃={x:UĄy<J3},

/*■ ty: Mi2},

IIJ    {y:y< -- V yź I),

Ih lv:r^O}.

Dla relacji Sc R x l< wyznaczyć obrazS(A) i przeciwobraz S '(B)

a)    S= {(x,>'):y = sinar}; zl = <-y,4->, B = {.y: \y\ >-^},

b)    S = {(x,.y):y ⁼ tg•*}; A = <7, 3^), B = {y: \y\< 1},

c)    S = {(A-,jy):^ = ctg^}; A = {x:\x\<^}, 5 = <V3,+°o),

d)    .<?={(*,>>):>> =^-21}; ^=(-2,1), 2* = <1,|),

7

e)    S= {(x,^):^=|cosx|}; A = (-^Ą), B = (—, + °o),

o 3    z

I) S= {(*,>>): l*-yl = 2}; 5 = <2, 3),

g) S = {(*,>>): J> = |log, x\}; B = ( 1,2),

2

li) 5= {(A:,y):>' = arccos.v}; zi=<—), B = (^-,-n);

2    2    4 6

/r

i)    5 = {(*,>>): y^arctg*}; =    ), B =

7E 3

j)    S = {(jr,y):^=arcctg^}; z* = (-l,V3>, £ =

1

k)    S= {(x,^):^=|arcsinx|>; A = (--,—), B = £Ą),

2 2    6 3

JfT

l)    S= {(*,>>): >>=|arctgjr|}; A = (S,--),B = (^,-),

•    3    6 3

m)    £= {(x,y):.y = arcsin(x-4)}; £ = (-7,7),

6 3

V3 1

n)    5= {(x,;y):j/ = arccosx + 7t}; zl = (-°o,——)u(-, + °o),

■73

o)    S= {(x,;y):y = arctgx + ^-}; zi = (-<»,-V3)u(—, + »),