Picture3

(4.12)

I v|| Jx .V, X G E.

Symbolem ||.v|| oznaczamy normę (długość) wektora x e E.

Definicja 4.10

Wektory x,y nazywamy ortogonalnymi (prostopadłymi), x±y wtedy i tylko wtedy, gdy:

.v°.y = 0.    (4.13)

Definicja 4.11

Ciąg wektorów    nazywamy ciągiem ortogonalnym wtedy i tylko

wtedy, gdy wektory tego ciągu są parami ortogonalne, tzn.

tr, - Xj = 0 (i,j = 1 , .... n, i *j).    (4.14)

Definicja 4.12

Ciąg wektorów' jci, .... x„ nazywamy ciągiem ortonormalnym wtedy i tylko wtedy, gdy wektory tego ciągu są parami ortogonalne i każdy z nich ma długość równąjeden, tzn.

x. oX ,

i

IX i = j

}0. i*j

(i, j = l n).

(4.15)

W /7-wymiarowej przestrzeni euklidesowej każdy ortogonalny ciąg niezero-wych wektorów Jtj, ..., x„ stanowi bazę tej przestrzeni.

Przykład 4.5

Zbadać, czy odwzorowanie: x °y = 5A-,yi + 2x\y₂ + 2x^y\ + 3 xiy₂ jest iloczynem skalarnym w R².

Sprawdzamy, czy spełnione są następujące własności:

1° A x°y = y°x

x,yeR²

L = i7 = (.ri,x₂)« Oi,yi) = 5jci3/| + 2x_ty₂ + 2xij>i + 3^y₂ I’ =y ° X = Ol, y₂) ⁰ Ol, *2) = 5yi*i + 2y₂x_x + 2y_{x₂ + 3y₂x₂ L = P.

2° A A (m ) ' - tĄx ⁰y)

</<*K

L = (ax)°.v (</(x i. v.)) 0'i.>'.■) (<«•,, av₂) •• Ot> v₂)

= 5ax\y\ + 2aV|^₂ t 2av,)’i + 3av,y₂ ⁼ 05xiVi + 2xiy₂ ¹ 2xjVi i Ua •)

= a(x ^a y) = P.

3° A (x + y)»z = (a- ° z) + O' ° z)

x,y,zeR-

L = (x + y)°z = (Oi, x₂) + Ot, ,y₂)) ° Ot, Z₂) = (.v, + y,, x₂ + yi)^u Oi. Sj)

= 5(xi + y_t)z, + 2(xi + y_])z₂ + 2(x₂ + y₂)=, + 3(.v, + .y₂)z₂ = 5a'|Z| + 5y\Z\ + 2xiz₂ + 2j>|Z₂ + 2v₂Z| + 2_y₂Z| + 3x₂z₂ + 3y₂z₂ P = O °z) + (r:) = (Ot, x₂) ° (zi,z₂)) + (Oi, v₂)⁰ (z,,z₂))

= 5X|Z| + 2v|Z| + 2x₂z\ + 3.v₂z₂ + 5viZi + 2_yiz₂ + 2y₂Z| + 3v₂z₂ L = P.

4° A x°x>0 a (x ° x = 0 <=> x = 0)

,veR-

x⁰ x = Oi, x₂) ° Oi, x₂) = 5x|X| + 2.V|X₂ + 2x%V| + 3x₂x₂ =

= 5x² + 4x,*₂ + 3x; = x² + 4x² + 4x,x, + x² + 2x² =

= x² + (2x, + x,)² + 2x; > 0

x»x =0<=>x,² +(2x, + x,)² +2x; =0o[x² =0 a (2x,+x_:)²    0 a

a 2x; > 0] o [x, = 0 a x, = 01 <=> x = 0 .

Tak więc x°^ = 5xiVi + 2xiv₂ + 2x^Vi + 3x^₂ jest odwzorowaniem, które nn zywamy iloczynem skalarnym w R².

Przykład 4.6

Dla jakiego parametru a układ wektorów x — (a, 1,2), y (I, jest układem:

a)    ortogonalnym.

b)    ortonormalnym

w przestrzeni (R\ R, +, •), gdzie iloczyn skalarny zdefiniowano następująco:

x °y = Ot, *2, Xi) ⁰ Ot,^2, T.i)⁼ *i.Vi ⁺ *02 ⁺ *Oj-

Ad a) Aby wektory x i y były ortogonalne, ich iloczyn skalarny musi równik się zero:

x°y = (a, 1,2)⁰ (1, a, 2) “ a + a + 4 “ 2a + 4 * 0 o a 2.

Ad b) Aby wektory były ortonormalnc muszą być ortogonalne i norma każ dego z nich musi być równa I. Dla a 2 wektory v i y tworzą układ ortogo nalny. Sprawdzamy teraz ich normy: