Picture1

I I

szych obliczeniach ograniczymy siy do dwóch picrws/ych równań układu, po-in i lit ji)c ostatnie jako zależne od nich.

Mamy więc do rozwiązania układ równań:

(7.5)

\2x- 3y - 5 | v + 2 y --1,

który jest już układem Cramera (2 równania, 2 niewiadome, macierz współczynników nieosobliwa). Rozwiązujemy go jedną z trzech podanych wcześniej metod (np. wzorami Cramera).

czyli para:

-3

2

2 5

= 10-3 = 7,

la 1	2 -3
Mil	1 2

5

jest rozwiązaniem układu równań (7.5) i jest również rozwiązaniem układu wyjściowego z przykładu 7.3.

Przykład 7.4

(3x-2y + 5z = 1 \-6x + 4y-z = -3.

	3	-2 5"		3	-2 5 f
A =	-6	4	U =	-6	4 -1 -3

Utulamy rzędy macierzy I i I

	3 -2			-2 5
1		0,	| Aj |
1 1	-6 4			4 -1

a stąd możemy wyciągnąć wniosek, że rz A rz U 2 (|.1>| jest minorem slo|tinii 2 z macierzy A i także macierzy U) i na podstawie Iw. 7.1 stwierdzamy, że im układ równań ma rozwiązanie, a dokładniej: ma nieskończenie wiele rozwiązań (/■ = 2, n = 3) zależnych od jednego parametru (//-/• = I).

Ponieważ o rzędach macierzy decydował wyznacznik |/łj| utworzon> /< współczynników przy niewiadomych y i z, niewiadomą ,v od tego momcnlu traktujemy jako parametr i przenosimy na prawą stronę układu równań do wyia zów wolnych, w wyniku czego otrzymujemy do rozwiązania układ równań

f-2y + 5z - 1 — 3.v [4 y-z = -3 + 6*

* e R.

(7 (>)

W tej postaci jest to już układ Cramera i rozwiązujemy go np. za pomocą wzorów Cramera:

\W =

²>'

K\ -

1-3*    5

-3 + 6jc -1

-2    1-3*

4 -3 + 6jc

= -1+3x+15-30* =-27x + 14,

- 6-12x-4 + 12jc = 2,

a stąd rozwiązaniem układu jest nieskończenie wiele trójek liczb postaci:

xe R

-27* +14

\y --

-18

_ __i

9'

Uwaga: Do obliczania rzędów macierzy można wybrać inny wyznacznik,

■	3 5
	7 vO 1

* 0

i wtedy za parametr przyjmujemy inną zmienną ( r)

ale otrzymane rozwiązania są równoważne.