scan0056 2

50

Określenie optymalnych warunków hodowli przez szukanie maksimum wydajności względem parametru /?,, a następnie parametru p₂, może prowadzić do rozwiązania różnego od rzeczywistego optimum. Z tego względu w praktyce wykorzystuje się odpowiednie metody matematyczne, pozwalające na określenie położenia ekstremum funkcji na podstawie ograniczonej liczby pomiarów doświadczalnych.

Najprostszą, jednak bardzo często stosowaną metodą, jest wykorzystanie tzw. analizy czynnikowej (metoda Boxa-Wilsona, ang. response surface analy-sis). Polega ona na wykorzystaniu wielomianowej funkcji korelacyjnej, wiążącej wydajność metabolitu (funkcja celu) z wartościami parametrów hodowli (stężenie składników pożywki, temperatura, pH). W ogólnym przypadku funkcja ta ma postać

y = *0 ⁺ *!*,(*) ⁺ *2<P₂W ^{+ +} **»*(*)    (5.1)

gdzie: X jest wektorem parametrów, (p są dowolnie wybranymi funkcjami, zaś współczynniki b określane są eksperymentalnie. Z uwagi na wygodę obliczeniową często przyjmuje się jako funkcje (p wielomiany.

Wykonując kolejne pomiary dla różnych wartości parametrów uzyskuje się wektor obserwacji, tzn. wartości mierzonej funkcji celu (np. wydajności wytwarzania metabolitu, wydajności biomasy względem substratu, szybkości wzrostu). Równanie korelacyjne można zapisać w formie wektorowej

gdzie macierz U ma postać

U

y = Vb

1 <p,(X,) ... *,(*,) 1    <P,(X₂) ... <P,(X₂)

(5.2)

(5.3)

1 <?,(*„) ... <f_t(X„) Ogólne rozwiązanie równania (5.2) ma postać

(5.4)

b = (U^rU)"^lU^ry

Istnieje wiele technik matematycznych, pozwalających na minimalizację liczby dokonywanych pomiarów. Rozpatrzmy dla przykładu przypadek znajdowania optimum dla dwóch parametrów. Funkcja celu może mieć postać

y = ^o⁺^ioPi*02oPl ^+a0lP2^^a02P2 + ^a\\P\Pl    (5-5)

gdzie a. . są nieznanymi współczynnikami określanymi doświadczalnie. Warto zwrócić uwagę, że gdy współczynnik a_u jest różny od zera mamy do czynienia ze współzależnością oddziaływania parametrów na efekty hodowli. Dla _wy_Znaczenia wartości 6 współczynników należy wykonać co najmniej 6 niezależnych pomiarów. Jednak tego typu metoda może powodować obarczenie wyników znacznym, nieznanym błędem. Dlatego wykonuje się więcej doświadczeń, a następnie wyznacza takie wartości współczynników, dla których błąd dopasowania jest najmniejszy (metoda najmniejszych kwadratów). Można tak zaplanować eksperymenty, aby wiarygodność uzyskanych wyników była największa. Typowy plan eksperymentów zakłada wykonanie pomiarów dla trzech wartości każdego z parametrów (wartość najniższa, najwyższa i środkowa). Dla dwóch parametrów daje to 9 eksperymentów. W literaturze przedmiotu znaleźć można gotowe rozwiązania na wyznaczanie wartości parametrów dla typowych planów doświadczeń. Dostępne są programy komputerowe (np. STATISTICA), znacznie ułatwiające przeprowadzenie obliczeń.

Inną, coraz częściej stosowaną metodą eksperymentalnego wyznaczania ekstremum funkcji wielu zmiennych jest wykorzystanie sztucznych sieci neuronowych. Sztuczne sieci neuronowe są to pewne modele matematyczne wzorowane na działaniu mózgu i układu nerwowego (6-8). Podobieństwo polega na analogii transmisji i kodowania informacji. Na rysunku 5.2 przedstawiono przykładową sieć neuronową. Składa się ona z węzłów (neuronów), które są miejscami przetwarzania sygnału. W ogólnym przypadku w danym węźle mo-

dane wejściowe

dano wyjściowe

Rys. 5.2. Schemat prostej sieci neuronowej

że być wiele sygnałów (informacji) wejściowych, zaś sygnał wyjściowy może być przekazywany do wielu węzłów. Dla każdego węzła można określić odpowiednie przekształcenie sygnałów wejściowych na sygnał wyjściowy. Jeżeli przez y_t oznaczymy i -ty sygnał wyjściowy z danego węzła, zaś wektor syg-