SCN
01

£

Definicja

Minorem macierzy nazywamy wyznacznik dowolnej pod-macierzy kwadratowej tej macierzy.

Definicja

Jeżeli macierz A jest kwadratowa, to wyznacznik dowolnej jej podmacierzy głównej nazywamy minorem głównym i oznaczamy symbolem:

My, dla i j = 1,2,.... n

<=■-!>

Definicja

Dopełnieniem algebraicznym elementu a,j kwadratowej macierzy A„ x _n nazywamy następujące wyrażenie:

D_ij = (-irM_lj dla ij = 1,2,.... n

Wnioski

1.    Dopełnienie algebraiczne jest minorem z odpowiednim znakiem.

2.    Każda macierz n-tego stopnia ma dokładnie n¹ różnych dopełnień algebraicznych, bowiem każdy element macierzy ma swoje dopełnienie algebraiczne.

. Pierwsze twierdzenie Laplace'a o rozwinięciu wyznacznika macierzy A ' względem dowolnego i-tego wiersza:

X	= X ^aij ^Dij ^dla
7-1	7=1
0C‘ k ^*| A - -s V i,'. i	>1
i u / • 1 fy -t	iÓjś; chi2

IaI

Wniosek

Wy/nncznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza i ich dopełnień algebraicznych.

Drugie twierdzenie Laplace'a o rozwinięciu wyznacznika macierzy A względem dowolnej j-tej kolumny:

Ul = X <~¹)^{l+y a}ij^Mij = E^aU^Dij ^dla j = l,t§—»n

N    M    riOi,'r?    .

jjcv-jiVucj uiot «c    - oA-J

■    ' *"T'    .    J

Wniosek

Wyznacznik macierzy jest równy sumie iloczynów elementów dowolnej kolumny i ich dopełnień algebraicznych. ( g ^_r

4.3.2. Własności wyznaczników

1.    | A | = |A^t| - transpozycja nie zmienia wyznacznika.

2.    I AB | = | A11B | - wtedy, gdy odpowiednie działania są wykonalne.

3.    Wyznacznik macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów diagonalnych.

n

| A^d,:ld I = aj I a₂2 &33 • — • 3nn= I^kR *=■1

4.    Jeżeli dowolny wiersz lub dowolną kolumnę macierzy pomnożyć przez dowolną liczbę et, to otrzymana macierz będzie miała wyznacznik równy Ct • det A.

71

1

   Minory główne istnieją wyłącznie dla macierzy kwadratowych.