SCN
04

Definicja macierzy rzędu pełnego

Macierz A = A_mXn nazywamy macierzą rzędu pełnego jeżeli {i spełniona jest równość:

r = rz A = min(m, n}

oraz:

-    jeżeli r = m, to A nazywamy macierzą pełnego rzędu wierszowego,

-    jeżeli r = n, to A nazywamy macierzą pełnego rzędu kolumnowego.

Wniosek

Nieosobliwa macierz kwadratowa A„ _x n jest jednocześnie macierzą pełnego rzędu wierszowego i pełnego rzędu kolumnowego.

4.5.2. Obliczanie rzędu macierzy

1. Metoda minorów obrzeżających

Podstawowe twierdzenie metody

Rząd dowolnej macierzy A_mxn jest równy najwyższemu stopniowi minora tej macierzy, który jest różny od zera, czyli:

r = rz A = k <=>

V

^Mkxk

*0 A A M l>k ^M

= 0

(jeżeli takie minory istnieją)

Wniosek

Aby wyznaczyć rząd dowolnej macierzy A wystarczy znaleźć jej podmacierz kwadratową maksymalnego stopnia o wyznaczniku różnym od zera, wtedy stopień tej podmacierzy będzie poszukiwanym rzędem macierzy A.

Efektywna metoda wyznaczania podmacierzy, o której mowa wyżej, nazywana jest metodą minorów obrzeżających.

2. Metoda przekształceń elementarnych

Obliczanie rzędu macierzy metodą przekształceń elementarnych polega wstępnie na przetransformowaniu rozpatrywanej macierzy A = A_m * za pomocą przekształceń elementarnych dokonywanych na wektorach kolumnowych tej macierzy do następującej równoważnej ze względu na rząd macierzy blokowej:

&k xk ' ® kx(n-k) D(m-k)xk>0 (m-k)x(,n-k)

gdzie:

E - macierz jednostkowa, D - macierz dowolna,

0 - macierz zerowa.

Ponieważ przekształcenia elementarne zachowują rząd przekształcanej macierzy to wnioskujemy, że otrzymana macierz blokowa ma rząd równy poszukiwanemu rzędowi macierzy wyjściowej A, czyli:

rzA = rz

E e D e

= k

77