skanowanie0034

skanowanie0034




Mechanika

Po podzieleniu przez masę i wprowadzeniu oznaczenia k/m = aif otrzymuj ernjl postać:

d2x 2

— + w^x = 0,    (20.3J

'-gg

która jest najczęściej spotykaną formą równania różniczkowego ruchu harm monicznego. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

(20.4 W


x = Acos((o0t ■¥ ę),

gdzie A jest amplitudą, a ttfc = 2tt/T - częstotliwością kołową.


Rys. 20.1. Wykres ruchu harmonicznego: a) prostego b), słabo tłumionego, c) silnie tłumionego


Wyrażenie (cąi + <P) jest fazą ruchu, a <p-fazą początkową zależną od stanu ru- a| chu w chwili t = 0. Jeżeli w chwili początkowej ciało jest maksymalnie wychylonej to (p = 0; jeżeli / = 0 i x = 0, to <p = tt/2\ jeżeli t = 0 i x = Al2, to ę = ?t/3. Intui-j& cyjnie, faza w dowolnym stanie ruchu jest kątem na wykresie „wzorcowej” (nie-| przesuniętej) kosinusoidy, któremu odpowiada taki sam stan wychylenia. a)f    b)f    c)

Wielkość x występująca w równaniach (20.3) i (20.4) jest wychyleniem w znaczeniu ogólnym — może to być odległość liniowa od położenia równowagi, może to być kąt wychylenia, a także może to być wielkość niemechaniczna, np. natężenie prądu lub ładunek elektryczny na okładce kondensatora w obwodzie LC.

Opisany wyżej ruch harmoniczny nosi nazwę ruchu harmonicznego prostego dla odróżnienia od innych przypadków, kiedy oprócz siły typu -kx działają jeszcze inne siły.

Równanie ruchu harmonicznego tłumionego ma postać:

(20.5)


d~x    . dx

m—— = -kx-b—. dt~    dt

Wyraz -bdx/dt jest siłą tłumiącą której wartość jest proporcjonalna do prędkości. Wykonując proste przeniesienia i dzielenia, doprowadzimy ostatnie równanie do postaci:

(20.6)


d'x . „dx ■>

~ + 2p— + tu0-.r = 0,    (20.6)

dt dt

Ki... W celu znalezienia rozwiązania równania (20.6) wykonujemy podstawienie:


;jy wyniku czego równanie to przyjmie postać:


(20.7)



(20.8)


która jest całkowicie równoważna pod względem formalnym równaniu (20.3), jeśli


cctf - /T3 jest dodatnie. Rozwiązaniem równania różniczkowego (20.8) jest funkcja typu (20.4)


z = Acos(COt + 8),

w której częstotliwość kołowa jest wyrażona wzorem:


(20.9)



(20.10)


Wracamy ponownie do zmiennej x i otrzymujemy wyraźną postać zależności czasowej wychylenia w ruchu harmonicznym tłumionym:


x = Ae('‘a) cos(<yf + <p).


(20.11)


Jak widać z powyższego równania, amplituda w ruchu tłumionym wynosi A exp(—ySf) i nie jest stała, lecz zmniejsza się wykładniczo z czasem, dążąc do zera. Ponadto częstość drgań co' jest mniejsza niż w ruchu swobodnym. Współczynnik tłumienia określamy jako logarytm stosunku amplitud dwóch kolejnych drgań. Na podstawie równania (20.11) amplitudy drgań oznaczonych przykładowo indeksami n i n+1 wynoszą odpowiednio:


A„ = Ae f> oraz An+1 = Ae~fii,*T)


Po wzięciu powyższego pod uwagę i dokonaniu elementarnych przekształceń otrzymujemy wyrażenie na współczynnik tłumienia:



(20.12)


Wprowadzimy pojęcie czasu relaksacji

1



(20.13)


za pomocą którego możemy następująco wyrazić amplitudę:


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
skrypt060 62coCs (4.8 szana musi być w obu układach równa: / Po uproszczeniu otrzymujemy: co po podz
Po podzieleniu siły przez masę otrzymuje sę przyspieszenie z jakim jedno masa (o) porusza się w polu
IMG87 (8) Podstawowy mechanizm sygnalizacji

skanowanie0008 2 > dzielimy obie strony przez D"1 i otrzymujemy: x=D"1(b-(L+U)x), po wy
skanowanie0009 (121) zrozumieć. Oczywiście, stwierdzenie to nie oznacza po prostu, że winę można zał
60 (243) Ściegi ażurowe Liczba oczek podzielna przez 2 + 1. Uwaga: oczka należy przeliczać tylko po
59241 skanowanie0081 (4)

więcej podobnych podstron