skan0034

lub

x'(t) = A%mWuWipl^'    (2.10.H).

Itąd Widać, że X spełnia macierzowe równanie różniczkowe (2.10.4).

Aby wyznaczyć rozwiązanie szczególne problemu (2.10.2), zastąpmy dowolny stuły wektor C przez nieznaną funkcję wektorową v. Rozwiązania szczególnego Y szukamy w postaci

■ Y(t) = X(t)v(t),    (2.10.12)

Zauważmy, że v należy tak określić, aby Y spełniało równanie (2.10.2). Pochodną 1 ' Jest dana wzorem

Y'(t) = X'(t)v{t) + X{t)v'{t).

SliąÓ, gdy podstawimy to do (2.10.2) i skorzystamy z (2.10.11), wówczas X^,(t)v(t) + X(t)v'(t) = AJT(i)v(i) + p{t)_y

[X\t) - AX(t)]v(t) + X(t)v’(t) = p(t),

ft to redukuje się do

(2.10.13);

X(t)v'(t) =p(t).

Stąd, ponieważ X jest macierzą nieosobliwą, więc lub

v(t) = J X~¹(t)p(t)dt.

IlOBWiąasanle szczególne Y ma więc postać

Y(t) ~X(t) J X~¹(t)p(t)dt.    (2.10.14)

Jest to metoda uzmiennienia stałych dla układów równań liniowych rzędu pierwszego. Ilozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (2.10.2) ma postać

v(t) = vo(t) + Y(t)    x~\t)p(t)dt.

Wyznaczyć rozwiązania następujących zagadnień:

i. v'{t) =	5 :!]»<*>+	' t^2 + 2t' 2ć — 4Ć^3,
	2 -1 3"		f		'0
2. v\t) -	-1 1 -1	1/(0 +	1	l 1/(0)»	0
	0 1-1,		o		0

Rozwiązania 1. Przyjmijmy oznaczenia

aSŚ

1 -2

5 El

p(t) =

i² +21 2t - At²

Zauważmy, że Ai = 3i, A2 = -3i są wartościami własnymi macierzy A. Wektor własny związany z wartością własną Ai = 3i wyznaczymy poprzez rozwiązanie układu równań

i stąd mamy

EH

l±Ma 5 “	a	’i+3r
OL	i 5	mm ;

MMW

oraz

-3ti

1 + 3i '		(cos 3 t + i sin 3£)(1 + 3 i)
5		5(cos 3£ + i sin 3£)

+ 1

cos 31 — 3 sin 31 5 cos 3t

3 cos 31 + sin 31 5sin3£

1 - 3i -2	0		1 —1—3i ^1 5	0		1	—1—3i 5	0
5 : ^||l-3i	0		. 1 — 3ż -2	0.		.0	0	: 0.

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego y'{t) p Ay(t) ma postać

yo(t) — C\Ui(t) + C₂U2{t) — C\

+iii

cos3£ — 3sin3t 5 cos 31

3 cos 3t + sin 3i 5sin3t

cos 3t — 3 sin 3t 3 cos 31 + sin 3£ 5 cos 3£    5 sin 3£

Ci

C₂

Należy teraz wyznaczyć rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego. Korzystając z metody uzmiennienia stałych, mamy

gdzie

ii

Y(t) = X(ł) J

cos 3i — 3 sin 3£ 3 cos 3£ + sin 3t 5 cos 31    5 sin 3£

Zauważmy, żo dot(X) = —15 ^ 0, a to oznacza, że istnieje macierz odwrotna do macierzy A', Macierz transponowana X^T ma postać

A'

cos 31 - 3 sin 3£ 5 cos 31 3 cos 3£ -I* sin 3£ 5 siu 3/,