skan0041

(i) Cl

Wyznaczyć transformatę funkcji:

7. f(t) = e^a*cosu)t    8. f(t) w

9. /(i) = te^-<    10. /(*) = t¹ sinwt

7.    Skorzystamy ze wzoru: £[e^ai/(i)] = F(s — a). Niech F(s}«== £ [cos ort]. Wtedy

£[e^a< coswtl = F(s — a) ,,== 7—³ r₀°—5-, i?e(s) > a

8.    Niech F(a) = £[*ⁿ). Wtedy mamy

£[e-“r] = F(s + a) =    > -a

II. Niech F(s) = £[<]. Wtedy mamy

■C[e^t] = F(₅,+    §3 •Jtj

Transformatę funkcji / można również wyznaczyć, korzystając z następującego wzoru: £[tⁿ/(i)] — (l)ⁿF^(s). Niech F(s) = £[e^-t]. wtedy mamy

^ = H = - H    >: -¹

10. Niech F{s) — £[sinu>£]. Wtedy mamy

£[«²sinwt] = F"(s)S^^Re(s) > 0

Wyznaczyć transformatę odwrotną funkcji:

3 + 4

S~l)(3 + 2)

11. F(s) = 13. F(s) =

12. F(s) = 14. F{a) =

a(s +1) . 5

11. Korzystając z własności:

£-^,|C'_lF(3) + C'aO(K)|

mamy

c-¹

= -2£^-1

= -2

12. Funkcję F rozkładamy na ułamki proste,

1 _A B

S(S + 1)    8    . S + 1 ’

a stąd

1 = A(a + 1) + Bs.

Porównując współczynniki przy równych potęgach a, mamy następujący układ równań na wyznaczenie stałych. A i B :

s° 1 = A, s    0 = A + B.

Po rozwiązaniu tego układu mamy: A = 1, B = — 1, a stąd

13. Funkcję F rozkładamy na ułamki proste:

s + 4    _ A B

(s - l)(s + 2) ~ a-l ⁺ s + 2 ’

a stąd s + 4 = A(a + 2) + B(s — 1). Porównując współczynniki przy tych samych potęgach s, mamy

s° 4 = 2 A-B, a 1 = A + B,

Łatwo zauważyć, że A = |, B = — | jest rozwiązaniem tego układu, a stąd

s 4- 4

(a-l)(a + 2)

a² + 2a + 5

H ⁵ M- 2 1

_t4(s + l.)² + 4j HB (s + l)² + 4j

I 5 ■

■ 2⁶

sin 21

14.

1

² + 23 + 5