top12

24

I. Podstawowe pojęcia

§7. Hausdorffowski aksjomat oddzielania

Definicja (hausdorffowski aksjomat oddzielania). Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią Hausdorjfa, jeśli każde dwa jej punkty mają rozłączne otoczenia.

Na przykład każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią Hausdorffa, gdyż jeśli d jest metryką oraz d(x, y) = e > 0, to, przykładowo, zbiory

U_x:^m {z\ d(x, z) < e/2} oraz    U_y: = {z\ d(y, z) < e/2}

są rozłącznymi otoczeniami x i y.

Własność „nichausdorffowości” jest zupełnie niezgodna z naszą intuicją; kłócąc się z intuicyjnym wyobrażeniem pojęcia otoczenia, zdaje się na pierwszy rzut oka wręcz sprzeczna ze zdrowym rozsądkiem. Z tego powodu HausdorfT włączył powyższy aksjomat oddzielania do swej oryginalnej definicji przestrzeni topologicznej (z 1914 r.). Dopiero później przekonano się, że niehausdorffowskic topologie mogą być również bardzo użyteczne (np. „topologia Zariskicgo” w geometrii algebraicznej).

Niemniej jednak można w topologii zajść całkiem daleko, nic czując potrzeby zajmowania się niehausdorffowskimi przestrzeniami, choć w wielu miejscach „haus-dorffowość” byłaby tylko zbędnym zaprzątaniem uwagi. Aby zaspokoić ciekawość przykładem tak egzotycznej rzeczy, wystarczy wziąć zbiór X, mający więcej niż jeden element, z trywialną topologią {X,0}.

Jedną z korzyści dawanych przez aksjomat oddzielania jest jednoznaczność granicy.

Definicja (ciąg zbieżny). Niech (.*„)„:,>• będzie ciągiem elementów przestrzeni topologicznej X. Punkt ogX nazywamy granicą tego ciągu, jeśli dla każdego otoczenia U punktu a istnieje n_Q takie, że x„eU dla każdego n > n₀.

Fakt. Ciąg w przestrzeni Hausdorffa może mieć co najwyżej jędrni granicę.

Tymczasem w topologii trywialnej każdy punkt jest granicą każdego ciągu!

Jak ma się rzecz z operacjami na przestrzeniach topologicznych wyjaśnia następujący, łatwy do udowodnienia

Fakt. Każda podprzestrzeń przestrzeni Hausdorjfa jest przestrzenią Hausdorffa; suma rozłączna X + Y (czy też produkt kartezjański X x Y) dwóch niepustych przestrzeni topologicznych X i Y jest przestrzenią Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy X oraz Y są przestrzeniami Hausdorjfa.