top15

27

$8. Zwartość

Wówczas b_x = oo dla każdego .xeX, czyli ruch po trajektoriach w X trwa wiecznie. W szczególności na zwartej rozmaitości bez brzegu każde pole wektorowe jest globalnie całkowalne.^)

Lecz powróćmy do tematu. Przykładów na możliwość przejścia od „lokalności" do „globalności” można by podać znacznie więcej, nam wszakże chodziło jedynie o zilustrowanie użyteczności pojęcia zwartości.

Przykłady przestrzeni zwartych? Niepozornym, lecz bardzo ważnym przykładem. z którego wiele innych można otrzymać, jest domknięty przedział [0. 1], Wykażemy najpierw, że dla każdego otwartego pokrycia przedziału [0, I] istnieje > 0 („liczba l^ebesgueY’) taka, że każdy podprzedział o długości 5 zawiera się w jednym ze zbiorów pokrycia. Gdyby taka 6 nie istniała, wtedy dla każdego n £ 1 można by znaleźć podprzedział /„ c [0, 1] długości 1/n, nie zawierający się w żadnym spośród zbiorów pokrycia. Ciąg liczbowy, jaki tworzą środki przedziałów /„, zawiera zbieżny podciąg; jego granica xe[0, 1] należy do pewnego zbioru pokrycia. Wobec tego ten zbiór musi zawierać pewne /, z dostatecznie dużym n, co daje sprzeczność z założeniem. Z wykazanego faktu zwartość [0, 1] wynika bardzo łatwo; [0. 1] można pokryć skończoną liczbą przedziałów długości Ó, więc biorąc dla każdego z nich jeden z zawierających go zbiorów pokrycia, otrzymujemy skończone pod pokrycie. □

Stwierdzenie I. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty: jeśli X jest przestrzenią zwartą, a /: X -» Y jest ciągle, to f{X) jest zwartą podprzestrzenią Y.

Dowód. Niech {U_x}_lf._A będzie otwartym pokryciemf{X). Wtedy {f~^l(Vj)}_MA jest otwartym pokryciem X, a więc X = f~^l(L'_Xt)u...uf~^l(U_Xr) dla stosownie wybranych indeksów /._t. Stąd f(X)=* U _Xlv ...\j U _Xr. □

Stwierdzenie 2. Podprzestrzeń domknięta przestrzeni zwartej jest zwarta.

Dowód. Niech X będzie zwarta, a {V_x}_Xt:/i będzie otwartym pokryciem domkniętej podprzestrzeni A c X. Zbiory V_x są otwarte w A (a niekoniecznie w X), więc, z defnicji topologii podprzestrzeni, istnieją zbiory V_x otwarte w X, takie że U_x = A r\ V_x. Dołączając do rodziny {V_X}^_A otwarty zbiór X\A, otrzymujemy

(') Tzn. dziedziną każdej krzywej całkowej a, jest caic R: tę własność pola wektorowego nazywa się zazwyczaj zupełnością. (Pr/yp tłum)