top7

19

§3. Podprzcttrżenie, sumy rozłączne i produkty

Nie napisałbym tej banalnej uwagi, gdyby nie to. żc często zdarzało mi się spotykać z odmienną, błędną opinią, mającą najwyraźniej jakąś osobliwą atrakcyjność. Zakończmy na razie na tym.

§4. Bazy i podbazy

Definicja (baza). Niech (X\ ć ) będzie przestrzenią topologiczną. Podzbiór SB c C nazywamy bazą topologii, jeżeli każdy niepusty zbiór otwarły w X jest sumą pewnych zbiorów z S.

Na przykład otwarte kostki tworzą bazę topologii produktowej, a otwarte kule w Rⁿ tworzą bazę zwykłej topologii w Rⁿ. Zauważmy przy tym. żc kule o wymiernych promieniach i o wymiernych współrzędnych środka (zbiór takich kul jest przeliczalny!) także tworzą bazę tej samej topologii w fC.

Definicja (podbaza). Niech (X, 0) będzie przestrzenią topologiczną. Podzbiór 3 c C nazywamy podbazą topologii, jeżeli każdy podzbiór otwarty w X jest sumą pewnych skończonych przecięć zbiorów z 3.

Użyte w tej definicji wyrażenie „skończone przecięcie” nic oznacza wcale, żc przecięcie ma być zbiorem skończonym, ale żc jest ono przecięciem skończonej liczby zbiorów. Dopuszczamy przy tym przypadek przecięcia pustej rodziny zbiorów: jest ono z definicji równe całej przestrzeni. Na taką konwencję musimy przystać, chcąc aby obowiązywała w całej ogólności formuła    - fUau*

Z analogicznego powodu sumą pustej rodziny zbiorów jest zbiór pusty.

Przy takich konwencjach dla dowolnej rodziny 3 podzbiorów zbioru X istnieje dokładnie jedna topologia #(3) w X, której podbazą jest 3 (topologia „generowana” przez 3). Elementami tej topologii są sumy skończonych przecięć zbiorów z 3.

Zatem topologia może być określona poprzez zadanie jej podbazy. Lecz do czego może to być przydatne? Otóż często zdarza się, że potrzebujemy topologii spełniającej pewne warunki. Jeden z tych warunków dotyczy zwykle „bogactwa" topologii. Jeżeli 6 i 0' są topologiami w X, przy czym C> c to mówimy, że 0' jest bogatsza od 0 lub też, że C‘ jest uboższa od 0’. Często są powody do szukania topologii możliwie najbogatszej lub możliwie najuboższej. Jasne jest, że w każdym zbiorze X istnieje topologia najuboższa, zwana trywialną, utworzona z dwóch tylko zbiorów X i 0; mamy także najbogatszą topologię, zwaną dyskretną, w której wszystkie podzbiory X są otwarte. Lecz te dwie topologie mogą nie wystarczać po nałożeniu innych, dodatkowych warunków. Typowym przypadkiem jest żądanie, aby szukana topologia zawierała zadaną rodzinę 3 i była przy tym możliwie najuboższa. Taka topologia istnieje zawsze: jest nią dokładnie nasze C(3).

§5. Odwzorowania ciągłe

Definicja (odwzorowanie ciągłe). Niech X i Tbędą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie /: X -* Y nazywamy ciągłym, jeżeli przeciwobraz zbioru otwartego jest zawsze otwarty.