Untitled Scanned 39

103

dowolną formułą zdaniową, to wyrażenia n(/l), /\(/l), \/ (A) są również formu-

X_{    .«<

lami zdaniowymi, (iii) Jeżeli A i B są dowolnymi formulami zdaniowymi, to wyrażenia {A) a (B), (,1) v (B), {A)-* (B), {A)*-*(B) są również formulami zdaniowymi, (iv) Nie ma innych formuł zdaniowych {języka arytmetyki) prócz tych. które można utworzyć wedle reguł (i) (iii).

Definicje dalszych pojęć syntaktycznych, takich jak zasięg kwarttyfikatora, zmienna wolna, zmienna związana, zdanie, brzmią zupełnie tak samo jak dla języka teorii mnogości. Nie będziemy więc ich powtarzać. Przejdziemy od razu do podania aksjomatów. Zgodnie z tym, co mówiliśmy już przy teorii mnogości, aksjomatami powinny być pew ne zdania języka arytmetyki. Dobrze jednak wiadomo, że w każdym podręczniku matematyki podaje się w charakterze twierdzeń i aksjomatów rozmaite formuły zdaniowe („wzory”) odpowiednich języków' zc zmiennymi w^folnymi. Oczywiście, są to zawsze takie formuły, które po dopisaniu przed nimi odpowiedniej ilości dużych kwantyfikatorów, stałyby się prawdziwymi zdaniami. Zastosujemy się obecnie do tego powszechnego zwyczaju i wypiszemy aksjomaty w postaci formuł zc zmiennymi

A^AW

wolnymi.	Aksjomaty te są następujące
I.	X = X
2.	X II t II X
3.	x = y a y = z -* x = z
4.	x = y -*• S(x) = S(y)
5.	x = y -> x + z = y + z
6.	x = y -> z + x = z + y
7.	x = y -* x ■ z = y ■ z
8.	x — y-*z-x = z- y
9.	S(x) = S(y) -* x = y
10.	i(0 = S(xj)
11.	x+0 = x
12.	x + S (y) = S(x+y)
13.	o II o X
14.	X • S (y) = (x ■ y)+x
15.	,1(0) a f\[A(x) -> A(S(x))-]