Untitled Scanned 41

105

dowolne elementy zbioru U, to formuły 1-8 będą wyrażać prawdziwe zależności.

Powyższa aksjomatyka teorii grup pochodzi od matematyka amerykańskiego E.V. Huntingtona.

§ 5. ALGEBRA BO OLE’A

Aksjomatyczna algebra Boolc’a jest również teorią abstrakcyjną w takim sensie, jak elementarna teoria grup. Jej język zawiera oprócz stałych logicznych, zmiennych indy wid uowych i nawiasów tylko jeden predykat =, dwa symbole funkcyjne dwuargumentowe u i r\, jeden symbol funkcyjny jednoar-gumcnlowy oraz dwie nazwy indywidualne 0 i 1. Aksjomatami algebry Boolca są następujące formuły:

1.	X =	y -* y = x,		7.	X W —X	=	1,
2.	X =	y a y — 2 —»	X = z.	8.	xr\ —x	=	0,
3.	X =	y -> x u z =	yyjz.	9.	xxi y =	y	u X ,
4.	X =	y -► xnz =	ynz,	10.	x ny =	y	nx,
5.	xu0	= x,		11.	x u {y n	z)	= (xuy)o(xu2),
6.	xn 1	= x,		12.	x o (y kj	Z)	= (xn y)u(xn z).

Mogłoby się wydawać, że wśród aksjomatów charakteryzujących identyczność w algebrze Boolca powinny się znaleźć jeszcze następujące formuły:

x = x,    x = y -*■ z\jx = zu)‘,

x = y -* — x = —y,    x = y -* z r\x = z r\ y.

Jednak w istocie formuły te nic muszą być aksjomatami, gdyż wszystkie dają się wyprowadzić z innych aksjomatów. Podobne redukcje aksjomatów można by też przeprowadzić w niektórych innych opisanych wyżej teoriach, ale są to sprawy mało istotne dla naszych obecnych rozważań.

§ 6. DWUWYMIAROWA GEOMETRIA EUKLIDESA

Język tej teorii zawiera oprócz stałych logicznych, zmiennych indywiduo-wych (o których zakładamy, że reprezentują punkty dowolnej ustalonej płaszczyzny), nawiasów i znaku identyczności, jeszcze tylko jeden predykat trójczłonowy M oraz jeden predykat czteroczłonowy O. Formułę zdaniową Af(x, y, z) czytamy: punkt y leży między punktami x i z (przy czym nie jest