zz11

124

liczby rzeczywiste

retycznej gi. zagadnieniem jest definicja 1. rz. Punktem wyjścia tzw. konstruktywnych definicji L rz. jest zbiór liczb wymiernych. Należą do nich: 1) definicja Dedekinda oparta na pojęciu przekroju; 2) definicja Cantora oparta na pojęciu ciągów wymiernych spełniających warunek Cauchy’ego; 3) definicja Weierstrassa oparta na teorii ułamków dziesiętnych nieskończonych. Ze względu na swoją nieelementarność definicje konstruktywne nie występują w nauczaniu szkolnym. W nauczaniu ponadpodstawowym stosuje się tzw. definicję aksjomatyczną 1. rz. W aksjomatycznym ujęciu arytmetyka 1. rz. jest szóstką pojęć pierwotnych (R, 0, 1, +, •, <), gdzie R jest pewnym zbiorem, + i • są pewnymi działaniami (dwuargumentowymi) określonymi w R i < jest pewną relacją (dwuargu-mentową) określoną w /?; pojęcia te spełniają pewne warunki, zw. aksjomatami arytmetyki 1. rz. Jeden z aksjomatów dotyczących relacji <, tzw. aksjomat ciągłości [zob. definicja Dedekinda liczb rzeczywistych], w mniejszym lub większym stopniu nawiązuje do konstruktywnych koncepcji matematyków niem. J. W. R. Dedekinda, G. Cantora lub K. Weierstrassa.

K. K.URATOWSKI Rachunek różniczkowy i całkowy, Warszawa 1979.

definicja Cantora liczb rzeczywistych [d.

kantora 1. rz.], teoria, która formalizuje dobrze znany fakt, że pewne liczby niewymierne, np. ■J2, można z dowolną dokładnością przybliżyć za pomocą ułamków dziesiętnych [zob. pierwiastek kwadratowy], a co za tym idzie — liczby te są granicami pewnych ciągów o wyrazach wymiernych. Teoria Cantora zakłada znajomość arytmetyki liczb wymiernych i elementarnej teorii granic, do której zalicza się następujące pojęcia: ciągi o wyrazach wymiernych, czyli ciągi wymierne, ciągi wymierne zbieżne do 0, ciągi wymierne zbieżne do liczby wymiernej, ciągi wymierne spełniające warunek Ca-uchy’ego. Wśród ciągów spełniających warunek Cauchy’ego znajdują się ciągi wymierne zbieżne do liczby wymiernej x; ciągi te tworzą klasę, którą oznacza się symbolem [x] i nazywa się liczbą rzeczywistą wymierną wyznaczoną przez liczbę wymierną x. Dwa ciągi należące do tej samej klasy [x] mają tę własność, że ich różnica jest ciągiem zbieżnym do 0. Pozostałe ciągi spełniające warunek Cauchy’ego nie są zbieżne do żadnej liczby wymiernej (do nich np. należy ciąg kolejnych przybliżeń dziesiętnych Ciągi te można rozbić na klasy, zaliczając do jednej klasy takie dwa ciągi, których różnica zmierza do 0. Klasę zawierającą ciąg (a„) oznacza się symbolem [(«„)] i nazywa się liczbą rzeczywistą niewymierną wyznaczoną przez ciąg (a„) i każdy ciąg należący do klasy [(«„)] nazywa się ciągiem przybliżeń wymiernych tej liczby. Na osi liczbowej klasie [x] odpowiada punkt X o współrzędnej wymiernej x, natomiast klasie [(«„)] odpowiada ciąg punktów (A„) o współrzędnych wymiernych a„. Istnienie punktu A, do którego zmierza ciąg (A„), jest zagwarantowane przez aksjomat ciągłości Dedekinda. Punkt A jest geometryczną interpretacją klasy [(«„)]. Zbiór złożony z liczb rzeczywistych wymiernych i liczb rzeczywistych niewymiernych nazywa się zbiorem liczb rzeczywistych. W zbiorze tym można: 1) określić działania arytmetyczne; 2) sprawdzić, że ze względu na te działania zbiór liczb rzeczywistych jest ciałem; 3) określić porządek i odległość pomiędzy dwiema liczbami rzeczywistymi; 4) udowodnić, że każdy ciąg liczb rzeczywistych spełniający warunek Cauchyego jest zbieżny do pewnej liczby rzeczywistej (ta ostatnia własność nosi nazwę zupełności zbioru . czb rzeczywistych). Realizacja powyższego planu jest treścią d. C. 1. rz.

definicja * Dedekinda liczb rzeczywistych,

teoria, w której pojęcie liczby rzeczywistej i podstawowe własności tych liczb wywodzą się z pojęcia przekroju w zbiorze W (wszystkich) liczb wymiernych. Para (A,B) nosi nazwę przekroju w W, gdy: 1) A i B są niepustymi podzbiorami zbioru VP, 2) W= A<jB, tzn. każda liczba wymierna należy do jednego z nich; 3) jeżeli ueA i b e B, to a < b (stąd w szczególności wynika, że zbiory A i B są rozłączne). Każda liczba wymierna q wyznacza dwa różne przekroje: A = = {xe W: x < q}, B = {xe łf: x > q\ i A' = = {xe W: x < q}, B' = {xe W: x > q}. W przekroju (A,B) podzbiór A ma element naj większy, B nie ma elementu najmniejszego, a w przekroju (A', B) jest odwrotnie: A' nie ma elementu największego, B ma element najmniejszy. Istnieją przekroje (A,B\ w których A nie ma elementu największego, a B — elementu najmniejszego. Przykładem takiego przekroju jest para (.4, B\ gdzie A = {xe W\ x < 0 lub x² < 2} i B = {xe W: x > 0 i x² > 2}. Przekroje takie nie są wyznaczone przez żadną liczbę wymierną, nazywa się je lukami. Jeżeli każdy z dwóch przekrojów wyznaczonych przez liczbę wymierną nazwie się liczbą rzeczywistą wymierną, a przekroje nie wyznaczone przez żadną liczbę wymierną nazwie się liczbami rzeczywistymi niewymiernymi, to zbiór wszystkich możliwych przekrojów w W da zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Każdą liczbę wymierną należącą do A można nazwać dolnym przybliżeniem wymiernym liczby rzeczywistej (A, B), a każdą liczbę wymierną należącą do B — górnym przybliżeniem wymiernym liczby rzeczywistej (A.B). Ta stosunkowo prosta definicja liczb rzeczywistych nie jest elementarna, gdyż: 1) odbiega w sposób istotny od intuicyjnego rozumienia pojęcia liczby; 2) posługuje się nieelementarnym (z punktu widzenia logiki) pojęciem podzbioru; 3) określenie działań arytmetycznych na liczbach rzeczywistych i badanie ich własności nie jest łatwe; 4) nie jest łatwe określenie porządku i

•Dedckind Mk «

chard, ur. 1S5L z*. 91 tyk niem^ zajoemm teorią liczb i r>:csai matematycznej s-rm rii liczb rceczrvflĘKfc