0006

7

§ 1. Liczby wymierne

Niech, odwrotnie, ć będzie różnicą liczb a i b, a więc ć+b=a. Dodając do obu stron tej równości po (—b) i przekształcając lewą stronę (II. 2°, 4°, 3°) otrzymujemy, że

(c' + b)+( —b) = c' + [>+( —b)] = c'+0=c\

skąd wnioskujemy, że c'=a+(-b) = c.

Tak więc udowodniliśmy istnienie i jednoznaczność różnicy liczb a i b; oznaczamy ją przez a—b.

Z jednoznaczności różnicy wynika wiele własności. Przede wszystkim z II. 3° wynika 0=a-a, czyli stwierdzamy, że poza liczbą 0 nie ma liczby o własności analogicznej do II. 3°. Stąd już wynika jednoznaczność liczby przeciwnej do danej: — a=0—a.

Ponieważ z a+{-a) =0 wynika (—a)+a=0 (II. 1°), to okazuje się, że a= —{—a), tj. że liczby a i —a są wzajemnie przeciwne. Ustalimy jeszcze taką własność liczb przeciwnych:

_(a ₊ b) = (-a)+(-b);

w tym celu wystarczy udowodnić, że

(a + b) + [(-a)+(-b)]=0,

co wynika z własności II. 1°, 2°, 4°, 3°.

Na koniec przytoczymy jeszcze jedną własność łączącą relację porównywania z dodawaniem:

II. 5° z a>b wynika, te a+c>b + c.

Własność ta pozwala do obu stron nierówności dodać tę samą liczbę; z jej pomocą dowodzimy równoważności nierówności

a>b i a — b> 0.

Dalej, z a>b wynika —a<—b. Rzeczywiście, z a>b wynika a—b>0; ale

a —b = a + ( —b) —( —b) + a=( —b) + [—( —a)]=( —b)—(—a),

tak, że nierówność tę można napisać w postaci: (—b)—(—a)>0, skąd —b>—a, czyli —a< —b.

W szczególności z a>0 wynika, że -a<0, a z a<0 wynika, że — a>0. Jeżeli a#0, to z dwóch wzajemnie przeciwnych liczb a i - a jedna (i tylko jedna) jest większa od 0; tę właśnie liczbę nazywamy wartością bezwzględną zarówno liczby a, jak liczby —a, i oznaczamy symbolem

|a| = | —a|.

Za wartość bezwzględną liczby 0 przyjmujemy 0: |0| =0.

Na własności II. 5° opiera się możliwość dodawania nierówności stronami: z a>b i c>d wynika a+c>b + d. Rzeczywiście z a>b wynika a+c>b+c; z drugiej strony z c>d wynika c+b>d+b, czyli, II. 1°, b+ob+d, a więc na mocy I. 2° otrzymujemy w końcu, że a+ob+d.