00098475

242 l FWKKCJE ZMIENNBI Z

J. Fod«ć aUciwoki emu {i*} f je(o interpretacje teometrycziią.

4. Co to je® stctcj liczbowy O wyr*z»ch zrepoionyrfi:    a) zbieżny, b) rozbieżny, <)*

5. Podać zsńrefc miedzy zbieżnością aeregu V z, a zbieżnością urrtju V UJ-

«. Napnać kilka początkowych wyrazów ciąiu: a) j-2+—J. b) {(-t>"+^).

„

7. Zbadać zbieżność szercaów:

-£

J+»+Łt/

14-a-t-W -■ ^ *

.a

o Ę-

i, V' «

7. a) rozbieżny, b) zbieżny bczwzji., c) zbieżny warunkowo, d) d*^ł”3^l bezwz*!., _e) zbieżny warunkowo, f) rozbieżny.

1 FUNKCJA ZESPOLONA ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ

Funkcję, której dziedziną jest pewien przedział T, natomiast przedwdzie-dziną — pewien zbiór Hczb zespolonych, nazywamy funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej (por. razdz. I, p. 8)

Używamy przy tym następujących oznaczeń:

z-z(o dla rej    (in22)

bądź też

z - *0)+M0    onJJ)

przy czym *(r) = Rez<i), y(t) = Imz(t).

Równość (III.23) jest równoważna układowi dwóch następujących równości: tx~x(t)

an.24)

-AD

Z Taktu tejo wynika interpretacja geometryczna zakźnośd (111.22): jeżeli związki (HL24) stanowią równania pammetryczne pewnej linii na płaszczyźnie, to zależ-Dość (fll.22) jest równaniem tej linii zapisanym w postaci zespolonej.

f-ż»+r#ż*,    0 < ż < 2ir    (UttS)

Jest i ów Pinimi okresu o łzodku w punkcie u I promieniu r; łatwo zauważyć, te równani* to Jett

równoważne układowi dwócb równań:

tx-x.+rcmt ._____

Pochodna ftakcjł 1(1). Rozważmy funkcję (111.22), ustaloną wartość parametru l₀€T oraz przyrost parametru dr s* 0 i taki, te t₀+df e T. Oznaczmy Az - z(»,+At)—*(*•) “ Ax+jAy Pochodną Z^,(t₀) funkcji z{t) w punkcie f*, określamy następująco:

H7-1A7+1

więc istnienie pochodnej (111.26) jest równoważne istnieniu pochodnych x'(t,) i /(*<>)> pay czym (por. rozdz. I, p. 8)

z'(fo) “ rttoi+J/(ta)    (UL27)

Na przykład hinksja (IŁ25) na pochodna w każdym punicśc r«<0,2it>, a miinowids d(0 - -r dat+p ooa f - Xoo* f+yaia t)

ayM

Z równości (111.27) oraz z definicji (Ul .'26) wynika interpretacja geometryczna pochodnej «*0)- Rozważmy zwykły, otwarty i gładki luk AB (rys. 111.4), o przedstawieniu parametrycznym z *=i(f),    zgodnym z kierunkiem tego luko.

Załóżmy, te fU) * 0. Ponieważ

jest wektorem siyttnym do luku dft w pttnkde z(l#) i skierowanym zgodnie t Ute runkiem tego tuka, wiąo

Argi-CW

etoowi zfcMr wtzyttkkh udar łukowych kąta skierowanego, jaki wektor * tworzy z oaią nwnywktą, a więc kąta o nndetthi początkowym zgodnie równoległym