0011

12

Liczby rzeczywiste

że każdy przekrój postaci 3) określa pewną liczbę niewymierną a. Ta liczba a odpowiada brakującej liczbie granicznej i niejako wstawiamy tę liczbę pomiędzy wszystkie liczby a klasy A a wszystkie liczby a' klasy A'. W przykładzie 3) tą nową liczbą jest, jak łatwo ustalić, yj2.

Nie wprowadzając dla liczb niewymiernych żadnych jednorodnych oznaczeń (^l), będziemy stale wiązali liczbę niewymierną a z tym przekrojem A\A' w zbiorze liczb wymiernych, który ją definiuje. Dla jednolitości często będziemy to czynili także mówiąc o liczbach wymiernych r. Ale dla każdej liczby r istnieją dwa określające ją przekroje; w obu przypadkach liczby a<r odnosimy do klasy dolnej, a liczby a'>r — do klasy górnej, natomiast samą liczbę r można dowolnie przyporządkować albo klasie dolnej (jako największej w tej klasie), albo klasie górnej (jako najmniejszej w tej klasie). Dla ustalenia uwagi umówmy się, że zawsze mówiąc o przekroju określającym liczbę wymierną r, włączamy tę liczbę do klasy górnej.

Liczby wymierne i niewymierne wspólnie noszą nazwę liczb rzeczywistych. Pojęcie liczby rzeczywistej jest jednym z podstawowych pojęć analizy matematycznej.

7. Relacja uporządkowania liczb rzeczywistych. Dwie liczby niewymierne a i fi określane odpowiednio przekrojami A\A' i B\B', uważamy za równe wtedy i tylko wtedy, gdy przekroje te są identyczne; właściwie wystarcza zażądać, żeby pokrywały się dolne klasy A i B, bo wówczas klasy górne A' i B' pokrywają się również. Definicję tę można utrzymać w przypadku, gdy liczby a i fi są wymierne. Innymi słowy, jeżeli dwie wymierne liczby <x i fi są równe, to definiujące je przekroje pokrywają fię, i odwrotnie, z pokrywania się przekrojów wynika równość liczb a i fi. Należy przy tym oczywiście uwzględnić warunek, który nałożyliśmy na liczby wymierne (²).

Przejdźmy teraz do wprowadzenia relacji większości w zbiorze liczb rzeczywistych. Dla liczb wymiernych pojęcie to już znamy. Dla liczby wymiernej r i niewymiernej liczby a pojęcie większości zostało właściwie wprowadzone w ustępie 6. A mianowicie, jeżeli a jest określone przekrojem A\A', to uważamy, że a jest większe od wszystkich liczb wymiernych z klasy A, natomiast wszystkie liczby klasy A' są większe niż a.

Niech teraz dane będą dwie liczby niewymierne a i fi, przy czym a określone jest przekrojem Aj A', a /? przekrojem BIB’. Umówimy się uważać tę liczbę za większą, dla której klasa dolna jest obszerniejsza. Mówiąc dokładniej, przyjmujemy, że a > fi, jeżeli klasa A zawiera w sobie klasę B i nie pokrywa się z nią. (Warunek ten jest oczywiście równoważny warunkowi, że klasa B' zawiera całkowicie klasę A' i nie pokrywa się z nią). Łatwo sprawdzić, że definicja ta pozostaje w mocy w przypadku, gdy jedna z liczb a, fi lub obie są wymierne.

Udowodnimy, że dla liczb rzeczywistych spełnione są warunki I. 1° i 2°.

(‘) Mowa tu o skończonej formie oznaczeń; swego rodzaju nieskończone oznaczenia liczb niewymiernych znajdzie czytelnik w ustępie 9. Najczęściej konkretne liczby rzeczywiste oznaczane są w zależności od ich pochodzenia i roli: Jl, log 5, sin 10° itp.

(²) Bez tego warunku np. przekroje rozważane w przykładach 1 i 2 [6], tzn. w ustępie 6 (tak będziemy powoływali się na ustępy w całej książce), określałyby tę samą liczbę 1, a nie byłyby identyczne.