CCF20090321035

systemie numeracji alfabetycznej jest liczbą losową, to wynika stąd, że każdy układ określonej liczby znaków musi się prędzej czy później pojawić, kiedy się będzie zapisywać kolejne cyfry liczby 7i wyrażonej w owym systemie numeracji alfabetycznej.

Prawdopodobieństwo uzyskania określonego układu n znaków równać się będzie ilorazowi jedności przez 26 do n-tej potęgi. Aby uprzjdom-nić sobie, jakiego rzędu wielkość stanowić może taki iloraz, wykonamy prosty rachunek posługując się liczbą 25 i korzystając z faktu, że 2^Jf), czyli 1024, równa się w przybliżeniu 1000 — sześcianowi 10. Ponieważ 25 jest kwadratem 5, przeto

25⁵ • 2¹⁰ = 10¹⁰.

W takim razie 25⁵ równa się w przybliżeniu ilorazowi 10¹⁰ przez 10³, tj. 10⁷; stąd 25¹⁰ jest w przybliżeniu równe 10¹⁴, a zatem 26^ł0 zawiera się pomiędzy 10¹⁴ a 10¹⁵. Wnosimy stąd, że mianownik ułamka wyrażającego prawdopodobieństwo określonego układu 1000 liter wyniesie (przy liczniku 1)

■ tyle co potęga 10 o wykładniku zawartym między 1400 a 1500, a więc będzie liczbą złożoną z 1400—1500 cyfr. W następnym rozdziale spróbujemy uświadomić sobie, jakie znaczenie można wiązać z tak wielkimi liczbami. Na razie przyjmiemy punkt widzenia matematyków, którzy nie widzą żadnych trudności w rozważaniu dowolnie dużych liczb, byleby tylko można je było zapisać w. taki sposób, aby dwaj matematycy mówiąc o nich mogli być pewni, że mówią o tych samych liczbach ¹.

Jeśli więc weźmiemy pod uwagę jakiś ciąg miliona liter, co odpowiadałoby książce o objętości 400—500 stron przeciętnego formatu, to prawdopodobieństwo tego, że obliczając kolejne wyrazy liczby jt w systemie alfabetycznym otrzymamy właśnie ów układ miliona liter, będzie równe ilorazowi jedności przez liczbę zawierającą nieco więcej niż 1 400 Q00 cyfr.

Numeracja alfabetyczna jest dla nas bardziej interesująca niż numeracja dziesiętna, gdyż ciąg miliona liter, jakie składają się na książkę, ma dla nas swoją określoną fizjonomię, co pozwala nam z łatwością odróżnić ten ciąg od innego,podobnego zestawienia znaków stanowiącego inną książkę. Nawet człowiek nie obdarzony wyjątkową pamięcią może nauczyć się recytować z pamięci cały tom, zwłaszcza jeśli idzie o tom wierszy, podczas gdy najznakomitszym nawet specjalistom od rachowania w pamięci daleko do tego, aby móc bezbłędnie zapamiętać ciąg miliona czy choćby stu tysięcy cyfr. Wynika stąd, że jeśli, załóżmy, znamy jakąś liczbę losową w systemie alfabetycznym, to własności tej liczby wydadzą nam się daleko bardziej osobliwe niż w przypadku liczby z systemu dziesiętnego.

(36) pewna liczba losowa w numeracji

alfabetycznej

Powiedzieliśmy już, dlaczego wydaje się pewne, że liczba n jest w "systemie dziesiętnym liczbą losową; to samo odnosi się do jakiegokolwiek innego systemu numeracji, w szczególności, do numeracji alfabetycznej. Gdyby zresztą, wbrew oczekiwaniom, rozważania poniższe nie stosowały się do liczby %, trzeba by było po prostu zastąpić % dowolną inną liczbą, która byłaby liczbą losową. Wiemy przecież, że liczb takich jest nieskończenie wiele, aczkolwiek wyznaczyć jakąś liczbę losową z całą ścisłością byłoby rzeczą niełatwą.

Zgodnie z tym, co powiedzieliśmy poprzednio, dowolny ciąg liter, na przykład ciąg miliona liter składających się na jakąś określoną książkę, po-

75

1

Niektórzy matematycy idą nawet dalej, uważając za możliv,^fe rozważanie i takich liczb, które nie są dostatecznie ściśle określone.