CCF20090321032

Równość ta, gdzie A jest liczbą dowolną, stanowi zatem nieuchronną konsekwencję naszego punktu wyjścia (1); tak musi to zagadnienie ująć każdy matematyk. Nie istnieją dlań stopnie błędu, tak jak nie istnieją liczby duże czy małe, wszystko bowiem zależy od obranej jednostki. Miliard jest dla nas wielką liczbą, gdy chodzi o lata czy tony złota; ale miliard jest małą liczbą, gdy mowa o cząsteczkach wodoru czy nawet kroplach wody w oceanie. To samo zresztą dotyczy w pewnej mierze liczb oderwanych, jakimi są wielkości prawdopodobieństw; prawdopodobieństwo równe jednej milionowej wyda nam się znikome, gdy idzie o jakieś niewielkie ryzyko, na przykład ryzyko wyjścia bez parasola; to samo prawdopodobieństwo wydałoby się nam ogromne, gdyby nam powiedziano, że tyle właśnie wynosi codzienne prawdopodobieństwo wybuchu mnćfetwa bomb atomowych magazynowanych w pobliżu nas.

Te same przykłady wskazują, że w praktyce powszechnie się przyjmuje, iż pewnych błędów można nie brać pod uwagę, tzn. że pewne liczby nierówne można traktować jako równe. Gdyby ktoś próbował ustalić liczbę milimetrów sześciennych wody zawartych w oceanach, można by mu powinszować, jeśli by popełnił błąd nie przekraczający miliarda; można nawet powiedzieć, że szukana liczba nie jest w ogóle określona z dokładnością do miliarda, albowiem w ciągu każdej sekundy rośnie ona dzięki napływowi wody rzecznej i maleje, na skutek parowania, o wielkości rzędu wielu miliardów.

Matematyk jednakże ma prawo nie przyjąć takiej odpowiedzi, gdyż pewne prawdopodobieństwa, /które może on zbadać, są rzeczywiście dosyć ściśle określone, a łącząc te prawdopodobieństwa w odpowiedni sposób można otrzymać zarówno mniejsze, jak i większe liczby. Rozważmy kilka przykładów.

Prawdopodobieństwami dziesiętnymi: nazywać będziemy prawdopodobieństwa dotyczące występowania tej czy innej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym jakiejś liczby całkowitej ¹ lub ułamkowej. Liczba ułamkowa byłaby zapisana jako ułamek dziesiętny; zatrzymajmy się na tym ostatnim przypadku i weźmy pod uwagę ułamek dziesiętny z dziesięcioma cyframi po przecinku

a — 0,3141592653.

Można postawić pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania właśnie liczby a, gdy losujemy kolejno rozmaite cyfry za pomocą na przykład kół podobnych do tych, jakich używa się dla losowania wygrywających numerów w loteriach ².

Ponieważ prawdopodobieństwa otrzymania jako pierwszej cyfry — cyfry 3, jako drugiej — cyfry 1 itd. wynoszą po jednej dziesiątej, przeto prawdopodobieństwo otrzymania akurat liczby a równać się będzie, rzecz jasna, dziesiątej potędze 0,1, a więc jednej dziesięciomiliardowej. Wystarczy wziąć jakąś liczbę b zawierającą 20 cyfr zamiast 10, aby otrzymać prawdopodobieństwo p^f równe kwadratowi poprzedniego, czyli stumiliar-dowej części jednej miliardowej.

Prawdopodobieństwa p i p' są ściśle określone i debrze znane. Oba niewiele różnią się od zera,

63

1

   W mej książce Les Probabilites et la vie można znaleźć kilka wyników dotyczących prawdopodobieństw rozmaitych numerów losów loterii państwowej.

2

   Można by się obawiać, że koła te .nie są idealne i nie dają wszystkim cyfrom jednakowych szans.- Przypomnijmy sobie, że zgodnie z rozumowaniem, jakie przeprowadziliśmy w § 14, otrzymalibyśmy dla każdej cyfry prawdopodobieństwo równe jednej dziesiątej, gdybyśmy wybrali w sposób losowy dostateczną ilość cyfr, z których każda ma prawdopodobieństwo bliskie jednej dziesiątej, a następnie obliczyli sumę tych cyfr, aby wziąć ostatnią cyfrę tej sumy.