CCF20101004014

40 3. Wielkości charakteryzujące serię pomiarów...

Oznaczmy

L

E w = ^N -

gdzie /V jest liczbą pomiarów wykonanych we wszystkich seriach, wówczas równanie (3.1.10) przyjmie postać:

1,

N

E ^k^xk — E ^xj •

Podzielmy obie strony równania (3.1.11) przez N:

(3.1.12)

Prawa strona równania (3.1.12) jest średnią arytmetyczną pomiarów wykonanych we wszystkich seriach, a więc:

wielkości fizycznej x. Stosunek tjf- = Wk bywa, w tym przypadku, nazywany

Wzór (3.1.13) przedstawia nam wartość średnią L serii pomiarowych

wagą pomiaru, a średnia dana wzorem (3.1.13) średnią ważoną. Do tego zagadnienia wrócimy w rozdziale 5.1.5.

Przykład

Powierzchnię prostokąta wyznaczono w 4 seriach pomiarowych. W pierwszej serii wykonano N\ = 8, w drugiej /V-₂ = 10, trzeciej N$ = 4 i czwartej Ną = 7 pomiarów. Wartości średnie dla poszczególnych serii wynosiły: i:i = 107.7 cm², X2 — 171.0 cm², x3 = 109 cm², x\ — 170.3 cm². Zgodnie ze wzorem (3.1.13)

Wagi pomiarów wynoszą dla pierwszej serii drugiej ^j, trzeciej ^

i czwartej ^.

Odchylenie standardowe serii pomiarów bezpośrednich

W poprzednim rozdziale stwierdziliśmy, że średnia arytmetyczna serii /V | pomiarów jest wartością, wokół której grupują się wyniki pomiarów. Nie |

mówi ona jednak nic o rozrzucie wyników pomiarów, a więc jej wartość nie charakteryzuje precyzji pomiarów.

Różnica X{ - x jest odchyleniem pojedynczego pomiaru od wartości średniej danej serii złożonej z N pomiarów. Ważne jest więc zdefiniowanie wielkości, która będzie charakteryzowała nie pojedynczy pomiar, ale całą serię N pomiarów. Określi nam ona precyzję, z jaką, została wykonani dana seria pomiarów. Obliczmy sumę różnic Xi — S (i = 1,2,..., N). Jest ona równa:

N    N

£(*i -    = £ ^Xi -    ■    (3-2.1)

i=i    i=l

Podstawiając do (3.2.1) średnią arytmetyczną x daną wzorem (3.1.8) otrzymujemy ważny związek:

N

>.>. • -')    - " •    (3-2.2)

1=1

Wyrażenie (3.2.2) jest zawsze prawdziwe, ponieważ przy jego wyprowadzeniu nie dokonywaliśmy żadnych przybliżeń. Nie może ono jednak być wykorzystane do oceny precyzji pomiaru, ponieważ dla danej serii pomiarowej jest ono spełnione tożsamościowo. Z tego powodu za miarę precyzji danej serii pomiarów przyjmujemy średnią kwadratową błędów bezwzględnych S_x zdefiniowaną następująco:

S_x =

\ N

£‘V²

£(*« - ^xo)^z

(3-2.3)

gdzie (S, jest błędem bezwzględnym i-tego pomiaru. Wielkość S_x będziemy I nazywali w dalszym ciągu tego wykładu odchyleniem standardowym | serii lub odchyleniem standardowym pojedynczego pomiaru serii. | W starszych opracowaniach S_x nazywane jest średnim błędem kwadra- | towym pojedynczego pomiaru. W tym opracowaniu, aby uniknąć częstego pisania symbolu pierwiastka kwadratowego, będziemy często posługiwali się wielkością 5^, którą będziemy nazywali wariancją serii. Przyjęcie S_x za miarę precyzji serii pomiarowej znajduje uzasadnienie, które zostanie podane w rozdziale 5.1. Wielkość S_x zdefiniowana wzorem (3.2.3) jest nieznana, ponieważ nie jest znana wartość rzeczywista xq. Obliczenie S_x staje się możliwe, gdy znajdziemy związek między nieznaną sumą kwadratów błędów bezwzględnych YliLi (®t ~ ^x'o)² sumą kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej YliLi (^xi ~ ^x)² , którą łatwo można obliczyć. Błąd bezwzględny i-tego pomiaru jest:

(3.2.4)

= Xi - xo .