CCF20101004014

3. Wielkości charakteryzujące serię pomiarów...

Oznaczmy

L

£ = ^N -

gdzie /V jest liczbą pomiarów wykonanych we wszystkich seriach, wówczas równanie (3.1.10) przyjmie postać:

/.

N

E ^N^'k = X>i-

(3.1.11)

Podzielmy obie strony równania (3.1.11) przez N:

(3.1.12)

Prawa strona równania (3.1.12) jest średnią arytmetyczną pomiarów wykonanych wc wszystkich seriach, a więc:

(3.1.13)

wielkości fizycznej x. Stosunek = tią, bywa, w tym przypadku, nazywany

Wzór (3.1.13) przedstawia nam wartość średnią L serii pomiarowych

wagą pomiaru, a średnia dana wzorem (3.1.13) średnią ważoną. Do tego zagadnienia wrócimy w rozdziale 5.1.5.

Przykład

Powierzchnię prostokąta wyznaczono w 4 seriach pomiarowych. W pierwszej serii wykonano Ni = 8, w drugiej Ni = 10, trzeciej N-j = 4 i czwartej Ną = 7 pomiarów. Wartości średnie dla poszczególnych serii wynosiły: xi = 167.7 cm², i:i = 171.6 cm², £3 = 169 cm², £4 = 170.3 cm². Zgodnie ze wzorem (3.1.13)

8 • 167.7 -I- 10 ■ 171.6 + 4 • 169 + 7 ■ 170.3

3.2) Odchylenie standardowe serii pomiarów bezpośrednich

mówi ona jednak nic o rozrzucie wyników pomiarów, a więc jej wartość nie cli arak tery żuje precyzji pomiarów.

Różnica x, — x jest odchyleniem pojedynczego pomiaru od wartości średniej danej serii złożonej z N pomiarów. Ważne jest więc zdefiniowanie wielkości, która będzie charakteryzowała nie pojedynczy pomiar, ale całą serię N pomiarów. Określi nam ona precyzję, z jaką została wykonam, dana seria pomiarów. Obliczmy sumę różnic — x (i = 1,2,...., N). Jest ona równa:

N    N

— x) =    (3.2.1)

;=i    i=i

Podstawiając do (3.2.1) średnią arytmetyczną x daną wzorem (3.1.8) otrzymujemy ważny związek:

N

- 2) = 0 .    (3.2.2)

;=i

Wyrażenie (3.2.2) jest zawsze prawdziwe, ponieważ przy jego wyprowadzeniu nie dokonywaliśmy żadnych przybliżeń. Nie może ono jednak być wykorzystane do oceny precyzji pomiaru, ponieważ dla danej serii pomiarowej jest ono spełnione tożsamościowo. Z tego powodu za miarę precyzji danej serii pomiarów przyjmujemy średnią kwadratową błędów bezwzględnych S_x zdefiniowaną następująco:

N

I>² =

\ ^N

]T(*. - ^xo)²

(3.2.3)

gdzie ń, jest błędem bezwzględnym i-tego pomiaru. Wielkość S_x będziemy nazywali w dalszym ciągu togo wykładu odchyleniem standardowym serii lub odchyleniem standardowym pojedynczego pomiaru serii. W starszych opracowaniach S_x nazywane jest średnim błędem kwadratowym pojedynczego pomiaru. W tym opracowaniu, aby uniknąć częstego pisania symbolu pierwiastka kwadratowego, będziemy często posługiwali się wielkością Sj, którą będziemy nazywali wariancją serii. Przyjęcie S_x za miarę precyzji serii pomiarowej znajduje uzasadnienie, które zostanie podane w rozdziale 5.1. Wielkość S_x zdefiniowana wzorem (3.2.3) jest nieznana, ponieważ nic jest znana wartość rzeczywista xq. Obliczenie S_x staje się możliwe, gdy znajdziemy związek między nieznaną sumą kwadratów błędów bezwzględnych YliLi(^x’» ^— -^To)² a* sumą kwadratów odchyleń od średniej arytmetycznej YliLi {^x* ~ %)² , którą łatwo można obliczyć. Błąd bezwzględny i-tego pomiaru jest: