070 2

138 VIII. Algebra

/l+/\²⁶

gdzie n jest liczbą naturalną.

^8J9- ("75 )

(i+«r a-ty

8.22.    Obliczyć następujące pierwiastki z jedności: VI, VT.

8.23.    Uprościć wyrażenie (1 +/' y/3) (1 +i) (cos a + /' sin a) i podać wynik w post^ t rygonomet rycznej.

Obliczyć wszystkie wartości poniżej podanych pierwiastków. Wartości te na ogól łatwiej jest podać w postaci trygonometrycznej; w odpowiedziach podajemy je często dla porównania także w postaci algebraicznej (zad. 8.24 - 8.31):

8.24.    77.    8.25.    TI.

8.26. yr.    8.27.    yn.

8.28. y-l+i.    8.29.    73+4/.

8.30. 72-2/.    8.31.    7^27.

Znaleźć wszystkie pierwiastki równań (zad. 8.32- 8.38):

8.32. x⁴-l=0.    833.    i=0.

8.34. x⁶ +64 = 0.    8.35.    x⁵-1024=0.

8.36. x⁴+4 = 0.    8.37.    x⁶-l=0.

Wyrazić przez sin x i cos x (zad. 8.39 - 8.42):

8.39. cos5x.    8.40. sin6x.

8.41. sin7x.    8.42. cos8x.

sinx+sin2x + ... +sinr cosx+cos2x + ... +cosnx =

8.43. Korzystając ze wzoru Moivre’a wykazać, że (por. zad. 1.58 i 1.64): sin-j(n + l)sin-j-nx

sin jX

cos2(n + l)sin-jnx

§ 8.2. PIERWIASTKI WYMIERNE RÓWNAŃ ALGEBRAICZNYCH

Każde równanie stopnia n o współczynnikach całkowitych postaci (8-2.1)    b_ny" + b_K~i yⁿ~^l +... +b_t y+b_o = 0> gdzie b„#0,

można przez podstawienie

(i.2.2)    y-’-'

■ pomnożenie przez b"„ ~¹ doprowadzić do równania postaci

(8.2-3)    x"+fl,_,x*“¹+...+a₁x+a_o=>0

o współczynnikach całkowitych. Pierwiastki wymierne równania (8.2.3) możemy obliczyć „a podstawie twierdzenia:

(8.2.4) Jeżeli równanie (8.2.3) o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny, lo jest on liczbą całkowitą będącą dzielnikiem wyrazu wolnego a₀.

Zadanie 8.44. Rozwiązać równanie

(1)    2/+7y³—2y²+7y—4=0.

Rozwiązanie. Zgodnie z (8.2.2) dokonujemy podstawienia y=$x i po pomnożeniu stronami przez 8 otrzymujemy równanie

(2)    x⁴+7x³—4x² +28x—32=0.

Jeżeli równanie to ma pierwiastki wymierne, to są one liczbami całkowitymi będącymi dzielnikami liczby -32, a więc zawierają się wśród liczb:

±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±32.

Oznaczamy lewą stronę równania (2) przez /(x) i kolejno obliczamy:

/(-1) = 1-7-4-28-32*0,

/(1) = 1 +7-4+28 —32=0,

»więc x= 1 jest pierwiastkiem równania (2).

Powołujemy się teraz na twierdzenie Bezout:

(* 2.5) j_eż_en wielomian f{x) jest równy zeru przy x=a, to wielomian ten jest podzielny x~_a.

Dzielimy lewą stronę równania (2) przez x-l. Otrzymamy rozkład:

x⁴+7x³-4x²+28x-32s(x-l)(x³+8x²+4x+32)=0.

. ^Aby znaleźć ^r°^wnani_e

ewentualne dalsze pierwiastki całkowite równania (2), rozwiązujemy

x³+8x²+4x+32=0.

(3)

O"* wszystkie współczynniki tego równania są dodatnie, więc równanie to nie dodatnich pierwiastków. Oznaczamy lewą stronę równania (3) przez <p(x) i pod-y kolejno ujemne dzielniki wyrazu wolnego równania (3):

?>( — !)= —1 +8—4+32*0,